12. Figurer i plan og rom

12.1 Innledning

Nedenfor finner du en oversikt over figurer i planet og i rommet, med tilhørende egenskaper. Flere detaljer finner du ved å benytte søkefunksjonen på forsiden.

12.2. Omregningstabeller

12.2.1. Lengde

 

En lengde er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning. Eksempler på enheter er meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm). Vi har følgende sammenheng: 1m = 10dm = 100cm = 1000mm

Skal man arbeide med flere lengder er det viktig at alle har samme enhet. Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 10. Motsatt vei dividerer vi med 10. Ønsker man for eksempel å gå fra meter til centimeter må man multiplisere med 10 to ganger.

For større lengder har vi enhetene kilometer (km) og mil. 1km = 1000m = 0,1mil. 1 mil = 10km

12.2.2. Areal

Et areal er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning. Eksempler på enheter er kvadratmeter (m2), kvadratdesimeter (dm2), kvadratcentimeter (cm2) og kvadratmillimeter (mm2). Vi har følgende sammenheng: 1m2 = 100dm2 = 10000cm2 = 1000000mm2

Skal man arbeide med flere areal er det viktig at alle har samme enhet. Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 100. Motsatt vei dividerer vi med 100. Ønsker man for eksempel å gå fra kvadratmeter til kvadratcentimeter må man multiplisere med 100 to ganger.

12.2.3. Volum

Et volum er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning. Eksempler på enheter er kubikkmeter (m3), kubikkdesimeter (dm3), kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmillimeter (mm3). Vi har følgende sammenheng: 1m3 = 1000dm3 = 1000000cm3 = 1000000000mm3

Skal man arbeide med flere volum er det viktig at alle har samme enhet. Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 1000. Motsatt vei dividerer vi med 1000. Ønsker man for eksempel å gå fra kubikkmeter til kubikkcentimeter må man multiplisere med 1000 to ganger.

Når man regner ut et volum regner vi med en eller flere lengder. Når det arbeides med flere lengder må alle ha samme enhet. Se avsittet foran, om lengder.

For større arealer har vi følgende enheter: ar = 100 m2, daa = dekar = 1 000 m2, ha = hektar = 10 000 m2, km2 = kvadratkilometer = 1 000 000 m2.

12.3. Figurer i planet

Figurer i planet har to egenskaper det ofte spørres etter. Det ene er arealet, altså hvor stor flate figuren dekker. Det andre er omkretsen, hvor langt det er rundt figuren. For å finne overflaten av en mangekant summerer man alle linjestykkene som danner figuren.

 

 

12.3.1. Trekanter

En trekant har tre vinkler og tre sidekanter.

Vinkelsummen av en trekant er 180°

A + B + C = 180°

Arealet av en trekant er

Der G er grunnlinja og h er høyden av trekanten.

Figuren under viser hvorfor formelen for arealet er slik.

12.3.1.1. Rettvinklet Trekant

En rettvinklet trekant består av to kateter og en hypotenus. Begge katetene vil alltid utgjøre vinkelbeina i den rette vinkelen. Hypotenusen vil alltid være den lengste siden i trekanten.

12.3.1.2. Likebeint Trekant

Dersom to av sidene i en trekant er like lange er trekanten likebeint. "Pinnene" på sidene AC og BC markerer at disse sidene er like lange. Når to sider i en trekant er like lange medfører det at to vinkler er like store. I dette eksempelet er vinkel A og vinkel B like store.

 

12.3.1.3. Likesidet Trekant

I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene er 60°. Legg merke til at dersom man halverer en av sidene i trekanten dannes to trekanter som begge er 30°, 60° og 90°. Dette bør man huske fordi det er nyttig i mange sammenhenger.

 

12.3.2. Kvadrat

Et kvadrat er en firkant hvor alle sidene er like lange og alle vinklene er 90°. Diagonalene er markert med røde linjer. En diagonal er en rett linje som går fra et hjørne i firkanten til motstående hjørne.

Arealet av kvadratet er: A = a · a = a2

Omkretsen er: O = a + a + a + a = 4a.

12.3.3. Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange. Vinklene er 90°.

Arealet av rektangelet er: A = ab

Omkretsen er: O = a + a + b + b = 2a + 2b.

 

12.3.4. Parallellogram

Et parallellogram er en firkant hvor sidene er parvis parallelle.

Arealet er A = ah

og omkretsen er O = 2(a+b)

12.3.5. Rombe

En rombe er en firkant der alle sidene er like lange og parvis parallelle.

Arealet: A = ah.

Da alle sidene er like lange er a = b = c = d. Da blir

Omkrets: O = 4a

12.3.6. Trapes

I et trapes er to av sidene parallelle, men ikke like lange.

Arealet er:

Omkretsen er:

O = AB + BC + CD + DA

12.3.7. Mangekanter

En mangekant er en geometrisk figur med tre eller flere kanter. Alle mangekanter kan deles inn i trekanter. Alle trekanter har en vinkelsum på 180º

En figur med n kanter kan deles opp i (n-2) trekanter.

Vinkelsummen av n - kanten blir (n-2)180º.

 

12.3.8. Regulære mangekanter

En regulær mangekant er en geometrisk figur der alle sider er like lange og alle vinkler er like. I en regulær n - kant er vinkelen

Alle regulære mangekanter kan innskrives i en sirkel, som vist under. Tilsvarende sier vi at sirkelen er omskrevet en mangekant.

12.3.9. Sirkelen (14)

Se egen side.

12.4. Volum og Overflate

Når vi betrakter figurer i rommet er det ofte to størrelser man er interessert i. Overflaten av figuren er det samme som arealet av overflaten. Den andre størrelsen man er interessert i er volumet. På figurer i rommet gir ikke omkrets noe mening.

Dersom grunnflaten G og toppflaten T er to parallelle, kongruente plan er volumet gitt ved:

V = Grunnflate · høyde = G · h

Legemets overflate er gitt ved:

O = 2 · Grunnflate + OmkretsGrunnflate · høyde = 2G + OGh

 

12.4.1. Terning

En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen = a kan terningen se slik ut:

Overflaten av en terning blir summen av de seks kvadratenes areal:

O = 6a2

Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:

V = a·a·a =a3

12.4.2. Prisme

Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:

Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.

Grunnflate = lengde · bredde = l · b

Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h

Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:

Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh

 

12.4.3. Sylinder

 

12.4.4. Pyramide

12.4.5. Kjegle

12.4.6. Kule

 

 

 

 

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2021 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS