Funksjoner II

Innledning

En funksjon forteller hvordan du skal behandle en bestemt tallverdi. Man navngir gjerne funksjonene f, g, h osv, men kan i prinsippet kalle dem hva som helst. Dersom den variable er x og funksjonens navn f skriver man f(x) som leses ”f av x”. Er t (tid) den variable skriver man f(t) som leses ”f av t”.

Funksjonssuttrykk

Funksjonen f(x) = 2x + 5 har funksjonsuttrykket 2x + 5. Uttrykket forteller hva som skal gjøres med tallet som skal inn i funksjonen. I dette tilfellet skal tallet multipliseres med 2 og 5 legges til.

Definisjonsmengde

Hvilke verdi den variable kan ha i funksjonen bestemmes av definisjonsmengden D. Dersom funksjonens navn er f, brukes notasjonen Df. Alternativt bruker man x [x1, x2]

Verdimengde

Hvilke verdier som kommer ut av funksjonen, funksjonsverdiene, er bestemt av definisjonsmengden og av funksjonsuttrykket, Mengden av funksjonsverdier verdiene kalles Verdimengden. Om funksjonens navn er f brukes notasjonen Vf.

Man kan se på en funksjon som en ”bro” mellom mengder, definisjonsmengden og verdimengden.

Graf

Grafen til en funksjon viser sammenhengen mellom verdiene i definisjonsmengden og verdiene i verdimengden.

Verditabell

Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.

Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.

Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.

Eksempel 1

Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra -2 til 2. Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:

x f(x) = 2x - 3 f(x) (x, f(x))
-2 f(x) = 2 (-2) - 3 -7 (-2, -7)
-1 f(x) = 2 (-1) – 3 -5 (-1, -5)
0 f(x) = 2 (0) – 3 -3 (0, -3)
1 f(x) = 2 (1)– 3 -1 (1, -1)
2 f(x) = 2 (2) – 3 1 (2, 1)

Lineære funksjoner

Funksjoner av typen f(x) = ax + b kalles lineære funksjoner. Grafene til slike funksjoner er rette linjer med stigningstall a. Dersom a er negativ synker funksjonen mot høyre. f(0) = b, b er det punktet grafen skjærer y aksen (x = 0).

Figuren viser grafen til f(x) = 0,5x + 2.

En mer inngående behandling av lineære funksjoner finner du her.

Andregradsfunksjoner

Funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon er gitt som f(x) = ax2 + bx + c. Gitt på denne formen er ax2 andregradsleddet, bx er førstegradsleddet og c er konstantleddet. Grafene til andregradsfunksjoner kalles parabler. Grafene krummer og er symmetriske om symmetriaksen som er gitt som:

Dersom konstanten a i andregradsleddet er positiv vender grafen sin hule side oppover, den ”smiler”

Dersom konstanten er negativ vender grafen sin hule side nedover, den er ”sur”.

En andregradsfunksjon kan også være gitt på formen f(x) = a(x + b)2 + c

Konstanten a vil være den samme i begge fremstillingsmåter, men konstantene b og c er forskjellige. Hvilke fremstillingsmåte man benytter er smak og behag, men begge har sine fordeler. Grafen nedenfor viser funksjonen

I                       f(x) = 0,4x2 -2x +1

eventuelt

II                      f(x) = 0,4(x -2,5)2 -1,5

Fordelen med utrykk I er at det er på formen man bruker i ”abc” formelen, for å finne nullpunkter.

Fordelen med uttrykk II er at det gir symmetriakse og minimumspunkt direkte. Dersom man multipliserer ut parentesene og trekker sammen ender man opp med uttrykk I.

Asymptotiske funksjoner

Funksjoner der x inngår som en del av nevneren kalles brøkfunksjoner eller asymptotiske funksjoner. . Funksjonene går ofte mot en grense når x går mot en bestemt verdi. Dette kalles for asymptoter.

Grafen over viser funksjonen

Funksjonen går mot uendelig når x går mot 1 ovenfra.

Funksjonen går mot minus uendelig når x går mot 1 nedenfra.

Funksjonen går mot to nedenfra når x går mot minus uendelig.

Funksjonen går mot to ovenfra når x går mot uendelig.

X = 1 er en vertikal asymptote og y = 2 er en horisontal asymptote.

Mer utfyllende stoff om asymptoter finner du her.

Polynomfunksjoner

Funksjoner som består av flere ledd. Både rettlinjede funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner, men så sentrale at de behandles spesielt.

Generelt er polynomfunksjoner gitt ved. f(x) = axn + bx n-1 +……+ konstant.

På grunnkurs befatter vi oss noe med funksjoner av 3. og 4. grad, men sjelden funksjoner av høyere grad.

Potensfunksjoner

f(x) = a xb, der x og b er positive tall.

Dersom b = -1 har vi en asymptotisk funksjon hvis graf er en hyperbel. Dersom b = 1 får man en rett linje gjennom origo, med stigning en. Legg merke til at f(1) = a, fordi 1b er 1 uansett b - verdi.

 Dersom 1>b>0 vokser funksjonen raskest for små verdier av x, for så å avta noe (avhengig av b). Dersom b > 1 vokser funksjonen raskest for store verdier av x.

Figuren viser grafene til f(x) = x 0,5 og til g(x) = x 1,5 .

Eksponentialfunksjoner

Funksjoner av typen f(x) = a ∙ bx kalles eksponentialfunksjoner (b > 0).

Funksjonene illustrerer ofte en eller annen form for vekst. I biologien finnes det populasjoner som, i perioder, vokser tilnærmet etter disse modellene.

Dersom b > 1 vokser funksjonen med økende x-verdi. Er 1 > b > 0 avtar funksjonen med økende x-verdi.

Figuren viser grafen til f(x) = 0,5x og til g(x) = 1,5x.

Kalkulatorbruk

Uansett hvilke type kalkulator man bruker, bør du på 1MX og 1MY lære deg følgende som et minimum:

Dersom du skal ta 1MX eksamen bør du i tillegg kunne:

Eksempel 2:

Tegn grafene til f(x) og g(x) i et koordinatsystem.

f(x) = -0,5x2 + 2x + 1

g(x) = 1,5x - 2

Kommentar: Fra det første leddet i funksjonsuttrykket ser man at f(x) er en parabel som vender sin hule side nedover, fordi verdien fordi -0,5 er et negativt tall. …….Videre ser man at g(x) er en lineær funksjon som skjærer y aksen i -2 og har stigningstall 1,5. Lag verditabeller på kalkulator (eller manuelt) og tegn grafene.

På figuren har vi merket av punkter det er vanlig å spørre etter, fordi de har en spesiell betydning.

Nullpunkter

1)     Finn nullpunktene til f. ( punkt a og b på figur)

Nullpunktene (a og b på figuren) finnes ved å sette f(x) =0 og løse andregradsligningen:

Nullpunkter (0,45 , 0) og (4,45 , 0)

Minimums eller maksimumspunkt ( bunnpunkt, toppunkt)

2)     Finn topp eller bunnpunkt til f. (punkt c på figur)

Man ser fra funksjonsuttrykket at grafen har et toppunkt (negativ faktor i andregradsledd). Finn alltid symmetrilinjen: x = -b/2a = -2 /- 1 = 2.

Funksjonen har et maksimum for x = 2. For å finne tilhørende funksjonsverdi finner vi f(2) = -0,5 (22) +2 ∙ 2 + 1 = - 2 + 4 + 1 = 3

Maksimumspunkt for f er (2,3)

3)      Finn punktet der f skjærer y aksen. (punkt d på figur)

En hvilket som helst graf som skjærer y aksen må gjøre det for verdien x = 0. Man setter f(0) og får: f(0) = -0,5(0)2 + 2∙0 + 1 = 1.

Grafen skjærer y aksen i punktet (0,1).

Skjæringspunkter

4)     Finn skjæringspunktene mellom f og g. (punkt e og f på figur)

For at to grafer skal skjære hverandre må funksjonene være lik hverandre. Man setter f(x) = g(x) og får:

-0,5x2 + 2x + 1 = 1,5x - 2

-0,5x2 + 0,5x + 3 = 0

x = - 2 eller x = 3

Setter disse x verdier inn i en av funksjonene for å finne y koordinatene til punktene.

g(-2) = 1,5 *(-2) -2 = - 5

g(3) = 1,5*3 -2 = 2,5

Skjæringspunkter: ( -2, - 5) og ( 3 , 2,5 )

5)     Finn konstantleddet til g(x). (punkt h på figur)

Konstantleddet finnes ved å finne g(0) som er -2. Dette kan man også se direkte dersom man husker at b i f(x) = ax + b er konstantleddet (der grafen krysser y aksen).

6)     Finn den x-verdi som gir g(x) = 0. (punkt g på figur)

Setter g(x) = 0 som gir 1,5x -2 = 0 gir x = 1⅓

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2019 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS