Sannsynlighet

Innledning

 

Sannsynlighet er et ”nytt” fagområder i matematikk. Grunnlaget ble lagt av Fermat og Pascal i 1654 og utviklingen har fortsatt til langt ut på 1900 tallet. Sannsynlighet brukes i dag blant annet innen spillteori, forsikring og økonomi, medisin, moderne fysikk, for å nevne noen områder. Hendelser som kan forutsies kalles deterministiske. Hendelser vi ikke kan forutsi, som for eksempel terningkast, kalles tilfeldige forsøk.

Vi skal her befatte oss med hendelser vi ikke kan forutsi, men som vi allikevel prøver å si noe om. På engelsk heter sannsynlighet probability. Derfor bruker man bokstaven P som symbolet for sannsynlighet.

”Sannsynligheten for regn i morgen” skrives P(regn i morgen).

”Sannsynligheten for å få terningkast seks” skrives P(6).

 

Utfallsrom

Utfallsromme er mengden av alle mulige utfall en hendelse kan ha, og betegnes U. Hvor mange utfall kan et terningkast ha? En terning har øyner fra en til seks, det betyr at utfallet vil være blant disse. Et enkelt utfall vil være et element i utfallsrommet:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Eksperimentell Sannsynlighet

Hva er sjansen for å få fire øyner dersom vi kaster en terning en gang? La oss tenke oss at vi kaster en terning 100 ganger og får 14 firere. Vi sier da at den relative frekvensen (Relativ frekvens = hyppighet = forekomst) for firere etter 100 kast er 14/100 = 0,14 = 14%. Sannsynligheten er lik den relative frekvens i "det lange løp". Dersom vi fortsetter å kaste terningen vil vi oppdage at antall firere vil gå mot et bestemt tall. Vi kan ikke si at sannsynligheten for å få fire er 14% fordi hundre kast er lite i forhold til "det lange løp". La oss prøve en annen mulighet.

 

Teoretisk Sannsynlighet

Utfallsrommet viser oss at det er seks mulige utfall når vi kaster en terning. Vi er bare interessert i å få en firer. Bare en av seks muligheter gir en firer. Det betyr at sannsynligheten for å få en firer i et kast er 1/6 eller 0,167 eller 16,7%. Vi kan skrive det slik:

P (4) = 1/6 =0,167 = 16,7%

Vi går ut fra at sannsynligheten for å få en treer er like stor som for en firer eller et av de andre utfallene. Når det er slik sier vi at vi har en uniform sannsynlighet.

 

Sannsynlighetsmodell

Om en sannsynlighetsmodell er god, er det kun utprøving som kan fortelle oss.

 

Uniform sannsynlighet

Når sannsynligheten er den samme for alle elementer i utfallsrommet sier man at sannsynligheten er uniform – uniform sannsynlighet.

Når vi har en uniform sannsynlighetsmodell er sannsynligheten for en hendelse A gitt ved:

Hva er sannsynligheten for å få en femmer eller en sekser i et terningkast? Sannsynligheten for å få en femmer er 1/6 og sannsynligheten for å få en sekser er 1/6. Sannsynligheten for femmer eller sekser blir da:

P(5 eller 6) = P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 1/3

 

Venndiagram:

Et venndiagram er en grafisk fremstilling av en eller flere mengder, og eventuelle delmengder. Størrelsen av arealet i diagrammet har ingen matematisk betydning.

Eksempel:

I en klasse på 20 elever har 4 elever spansk og 12 elever fysikk. 2 elever har begge deler. Denne situasjonen kan fremstilles i et Venndiagram:

 

Et venndiagram kan skape klarhet i situasjonen: 6 elever (blå) har ikke spansk eller fysikk. 2 elever har både fysikk og spansk. 4 (2+2) elever har spansk og 12 elever har fysikk. 10 av disse har ikke spansk. Det totale antall elever er 20. En feil som ofte gjøres er at de elementer som er med i flere mengder (spansk og fysikk) telles to (eller flere) ganger.

 

Komplementære hendelser.

I en klasse har noen elever spansk valgfag. Man skal velge ut en elev fra klassen, og definere hendelse A = ”elev har spansk valgfag”. Alle elever som ikke har spansk valgfag vil inngå i hendelsen A* som er komplementær til A.

Vi har at

P(A) + P(A*) = 1

Noen lærebøker skriver den komplementære hendelsen til A som

Situasjonen kan se slik ut presentert i et Venndiagram:

 

 

Union og snitt

Union og snitt er begreper som kommer fra mengdelæren. Eksempelvis er A alle som liker matematikk og B er de som liker softis.

UNION

Union mellom A og B er da som liker is ELLER de som liker matematikk ELLER de som liker begge deler. Union symboliseres med U.

De som liker matematikk eller softis eller begge deler befinner seg i venndiagrammets hvite del.

SNITT

A snitt B er de som liker matematikk OG softis. Symbolet er ∩ og det kan se slik ut i et Venndiagram:

De som liker både matematikk og softis befinner seg i venndiagrammets gule del.

 

Disjunkte hendelser

A og B er disjunkte mengder fordi ingen elementer er felles. Dersom A er personer som liker is og B er personer som liker brus er det i denne mengden ingen personer som liker både brus og is. Det er imidlertid en gruppe (blått) som liker verken is eller brus.

Siden A og B ikke har noen felles elementer skriver vi A ∩ B = Ø. Tegnet Ø betyr den tomme mengde.

 

 

Addisjonssetningen

Den generelle addisjonssetningen er gitt som:

 

Eksempel

Vi kaster en terning en gang. Hendelsen øyner mindre eller lik to kaller vi A, A={1,2}. Hendelsen partall kaller vi B, B = {2,4,6}

I et venndiagram ser det slik ut:

 

Sannsynligheten for A blir P(A) = 2/6 = 1/3

Sannsynligheten for B blir P (B) = 3/6 = ½

Sannsynligheten for A ∩ B blir P(A ∩ B) = 1/6, fordi mengden inneholder ett av utfallsrommets seks elementer.

 

Hva er sannsynligheten for A U B?

Vi bruker addisjonssetningen og får:
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/3 + ½ - 1/6 =4/6 = 2/3

 

Man ser, både av venndiagrammet og av addisjonssetningen hvorfor man må trekke fra

P(A ∩ B). Dersom vi ikke hadde gjort det hadde vi regnet med elementet 2 en gang for mye.

DISJUNKTE HENDELSER

Disjunkte hendelser mangler noen felles elementer. Derfor blir addisjonssetningen for disjunkte hendelser:

 

Uavhengige hendelser

To hendelser er uavhengige dersom

P(A) = P(A|B), som fører til uavhengighetskriteriet:

P(A∩B) = P(A) ∙ P(B)

 

Uavhengige hendelser forveksles av og til med disjunkte hendelser. For disjunkte hendelser gjelder P(A∩B) = 0

Produktsetningen

Dersom man kaster en terning to ganger vil ikke resultatet fra første kast påvirke resultatet i andre kast. Hendelsene er uavhengige. Produktsetningen for uavhengige hendelser er:

Eksempel:

Hva er sannsynligheten for å få tre øyner i første kast og seks øyner i andre kast, når en terning kastes to ganger?

Sannsynligheten blir P( 3 ∩ 6) = (1/6) ∙ (1/6) = 1/36

Betinget sannsynlighet

Med betinget sannsynlighet menes sannsynligheten for en hendelse når man har opplysninger om at en annen hendelse allerede har inntruffet.

 

Sannsynligheten for hendelse A gitt at hendelse B har inntruffet skrives:

P(A|B)

Vi har P(A∩B) = P(B) ∙ P(A|B)

 

Valgtre

 

Vi finner følgende sannsynligheter:

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiller fotball:

P(A*) = 20/30 = 0,6667

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball:

P(A) = 1 - P(A*) = 0,3333.

Du kan også regne denne direkte fra informasjonen du har i utgangspunktet:

P(A) = 10/30 = 0,3333.

Vi ser at det stemmer bra med valgtreet (selv om det bare har to desimaler i utregningen).

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball og driver friidrett:

P(A B) = P(A)· P(B | A) = 0,3333 · 0,2 = 0,0666.

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball, men ikke driver friidrett:

P(A B*) = P(A)· P(B* | A) = 0,3333 · 0,80 = 0,2666.

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiller fotball, men driver friidrett:

P(A* B) = P(A*)· P(B | A*) = 0,6667 · 0,15 = 0,1000

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke driver med fotball eller friidrett:

P(A* B*) = P(A*)· P(B* | A*) = 0,6667 · 0,85 = 0,5667

En elev driver friidrett. Hva er sannsynligheten for at eleven spiller fotball? Vi ønsker å finne P(A | B). Vi har:

P( fotball og friidrett ) = P (friidrett) · P ( fotball gitt friidrett )

Litt mer matematisk:

(6) P(A B) = P(B) · P(A | B)

Denne setningen kalles produktsetningen for avhengige hendelser, eller den generelle produktsetningen. Dette gir følgende:

(7)  

Som er den setningen vi bruker på betinget sannsynlighet.

Dersom vi setter inn tall i vårt eksempel får vi P(A | B) = 0,0666/0,1666 = 0,4

(P(B) = 0,1 + 0,0666 fordi hendelsene "spiller fotball og driver friidrett" og "spiller ikke fotball men driver friidrett" ikke kan opptre samtidig og derved er disjunkte.)

Ved å bruke samme tankegang som over finner vi også:

(8) P(A B) = P(A) · P(B|A)

Dersom vi kombinerer (7) og (8) har vi at:

(9)  

Setningen kalles Bayes formel.

 

Total sannsynlighet

Krysstabell

 

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2019 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS