Vis RSS feed
HJEM    Søk    Logg Inn               
Telleteknikk

12.1. Innledning | 12.2. Multiplikasjonsregelen  | 12.3. Fakultet  | 12. 4.Ordnet utvalg med tilbakelegging  | 12.5. Ordnet utvalg uten tilbakelegging  | 12.6. Uordnet utvalg uten tilbakelegging  

 

12.1. Innledning Til toppen

For å kunne beregne sannsynligheter trenger man en oversikt over mulige utfall og kombinasjoner. I den forbindelse kan det være greit med noen regler for å få klarhet når s ituasjoner er uoversiktlige.

12.2. Multiplikasjonsregelen Til toppen

Dersom situasjonen består av flere trinnvise valg mellom flere elementer blir antall kombinasjoner som følger.:

 

Antall elementer i første valgrunde multiplisert med antall elementer i andre runde osv.

m ∙ n ∙ …..

 

Eks.12.2.:

 

Hvor mange antrekk kan du velge dersom du har valget mellom to gensere, fire bukser og tre par sko?

 

Svar:

2 (gensere) ∙ 4 (bukser) ∙ 3 (par sko) = 24 (antrekk)

12.3. Fakultet Til toppen

På hvor mange måter kan 5 personer plassere seg i en 5 seters sofa? Første person kan velge mellom 5 seter, andre person mellom 4 osv. Det gir følgende antall kombinasjoner

5∙(5-1) ∙(5-2) ∙(5-3) ∙ (5-4) = 5

 

n artikler kan arrangeres på :

 

n ∙(n-1) ∙(n-2) ∙………..1 = n!

 

n! leses ”n fakultet”.

 

0! defineres lik 1

 

Eks. 12.3.1:

 

10! = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1= 3628800

 

Som man observerer blir fakulteter raskt store størrelse.

 

Eks. 12.3.2:

På hvor mange måter kan bokstavene a, b, c, d og e arrangeres?

Fem bokstaver kan arrangeres på 5! Måter, altså 5! = 120 måter.

 

12. 4.Ordnet utvalg med tilbakelegging Til toppen

 

Vi har 4 kuler i en urne. Kulene er nummererte fra 1 til 4. Dersom vi trekker en gang har vi fire muligheter. Når vi har trukket legger vi kulen tilbake igjen og trekker på nytt, slik at det blir 4 muligheter i andre trekning også. Dersom man foretar r trekninger gir det

nr

muligheter. Rekkefølgen spiller en rolle slik at {1,2,3,3} er forskjellig fra {1,3,2,3}

 

Denne modellen kan brukes på fotballtipping. Du har en urne med tre kuler; H, U og B. Du trekker 12 ganger (kamper). Antall mulige måter å fylle ut en rekke på blir da

3 12 = 531.441 måter.

 

 

12.5. Ordnet utvalg uten tilbakelegging Til toppen

Dersom man har 10 kuler og skal trekke ut tre uten tilbakelegging vil man ha følgende muligheter:

  1. trekning: 10 muligheter
  2. trekning: 9 muligheter
  3. trekning: 8 muligheter.

 

Det gir oss 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 mulige kombinasjoner. Vi snakker om ordnede utvalg slik at {1,2,3} er forskjellig fra {1,3,2}, dvs. rekkefølgen spiller en rolle.

 

Dersom man trekker r elementer fra mengden n uten tilbakelegging skrives det nPr og kalkulatoren bør ha en funksjon for det. P står for permutasjoner. nPr er gitt som:

 

Permutasjoner

12.6. Uordnet utvalg uten tilbakelegging Til toppen

Dersom man skal velge ut to personer til en komité spiller det ingen rolle om man blir valgt som nummer en eller nummer to, enten er man med i komiteen eller så er man det ikke. Situasjonen kalles uordnet utvalg uten tilbakelegging. I slie situasjoner er {Eva, Ivar} identisk med {Ivar, Eva}. Om man tar utgangspunkt i formelen for ordnede utvalg og dividerer på antall muligheter de uttrukne elementene kan kombineres på får man:

 

Permutasjoner

Som er formelen for uordnede utvalg uten tilbakelegging eller binominalkoeffisienten. Den skrives også Slik:

Permutasjoner

 

Eks:12.6.1:

En klasse på 15 elever skal trekke ut 3 elever som skal representere klassen i en konkurranse. Elevene trekkes tilfeldig.

La oss gå en liten omvei for å teste formlene i tidligere i kapittelet.

 

På hvor mange måter kan tre elever velges ut? Svar: på 3! = 6 måter (i følge 12.3)

 

Et ordnet utvalg uten tilbakelegging ville gitt: nPr = 15∙14∙13 = 2730 forskjellige kombinasjoner, men da har rekkefølgen betydning. I dette tilfelle må man dele på antall måter 3 personer kan trekkes ut på, som er 6.

 

Dersom tre elever trekkes fra en gruppe på 15 kan det gjøres på 2730/6 = 455 måter, som er det samme som man hadde fått om man hadde brukt nCr direkte.

 

 

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2019 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS