Vis RSS feed
HJEM    Søk    Logg Inn               
23 Parametrisering

23.1 Innledning | 21.2. I planet | 21.2.1. Parameterframstilling av en rett linje. 

23.1 Innledning Til toppen

 

Parameterfremstilling er en måte å fremstille kurver på ved hjelp av en ”hjelpevariabel”. En parameter er en variabel. Parameterframstilling er nyttig i mange tilfeller, for eksempel dersom et objekt beveger seg som funksjon av tiden. Det er nødvendig å være fortrolig med vektorregning for å forstå leksjonen.

 

21.2. I planet Til toppen

La være en vektor paralell med linjen l. Velg et vilkårlig punkt P på l. kan uttrykkes som + .

er parallell med derfor er . Man får:

Et hvilken som helst punkt på linjen l kan uttrykkes på denne måten, ved å variere t.

Parameterframstilling av en rett linje

21.2.1. Parameterframstilling av en rett linje. Til toppen

For å framstille en rett linje ved parameterframstilling trenger man et punkt på linja og retnigsvektoren. Begge deler er gitt dersom man kjenner to punkter på linjen, eller lgningen for linjen (to sider av samme sak). Siden en linje består av uendelig mange punkter og har uendelig mange retningsvektorer er det uendelig mange måter for parameterfremstillingen. Det er vanlig å velge punkt og vektor slik at fremstillingen blir enklest mulig. Poenget er at to tilsynelatende forskjellige fremstillinger kan begge være riktige.

 

f(x) = ax + b

 

Rettningsvektor til f(x) er [1,a]

 

Dersom f(x) går gjennom punktet (x 0,y 0) blir parameterframstillingen for linjen

l: [x 0,y 0] + t[1,a]

som gir:

Som også kan skrives: l: på en mer generell form.

 

Eks. 1:

 

Finn parameterframstillingen for linjen m som går gjennom punktet (2,1) og som er parallell med linjen y= 2x – 1

LØSNING:

Man får: m: [2,1] + s[1,2] som gir: m: som er en parameterfremstilling for m, med s som parameter.

 

Eks. 2:

 

Finn parameterfremstillingen for en linje som går gjennom punktene (2,3) og (4, -2).

LØSNING::

Rettningsvektor blir [4-2,-2-3] = [2,-5]. Velger [2,3] som og får:
Eks. 3:

Finn parameterframstillingen for en linje m som står vinkelrett på linjen y = - 0,5x + 5 og som går gjennom punktet (-3/2, ¼).

 

LØSNING:

En linje vinkelrett på y kan ha rettningsvektor [1,2]. Får da:

m:

Eks.4

To båter, ”Frøya” og ”Hypatia,” starter samtidig. De følger kursene gitt ved parameterframstillingen:

Avstanden mellom båtene ved tiden t =0 er 7 nautiske mil. En nautisk mil er 1852 meter.

a) Finn en parameterframstilling for båtenes kurser. Du legger selv inn et koordinatsystem i kartet.

b) Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom båtenes kurs.

c) Dersom båtene holder samme fart vil de da kollidere?

d) Hvilken båt kommer først til skjæringspunktet mellom kursene?

e) Hva er avstanden mellom båtene da?

 

LØSNING:

a) Man legger inn et koordinatsystem i kartet, for eksempel med origo i Hypatia, ved tiden t=0. Det gir følgende koordinater i startøyeblikket.

Hypatia ( 0,0)
Frøya (7,0)
Lillevik (-1, -14)
Storevik (7, -11)

Kursene båtene følger på parameterform:

Hypatia:

Frøya:

b) Når kursene krysses må begge x koordinater være like, og begge y koordinater være like:

7t = 7 - 8s og -11t = -14 s

som gir S= 0,414 og t = 0,527

Innsatt i en av parameterframstillingene gir det koordinatene til kryssningspunktet:

x = 3,69 og y = -5,80

c) Siden båtene holder samme fart er det avstanden fram til kryssningspunktet som avgjør om de vil kolidere. Avstanden finne ved pytagoras:

Hypatia: 6,8 nautiske mil

Frøya: 6,7 nautiske mil

Det vil være en avstand på ca. 0,1 nautisk mil, altså ca. 200 meter, noe som for større båter vil kunne skape en farlig situasjon. Frøya kommer først til punktet.
Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2024 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS