Vis RSS feed
HJEM    Søk    Logg Inn               
Anvendt derivasjon

Innledning | Funksjonsdrøfting | Grensekostnader | Grenseinntekter | Overskudd | Maksimums og minimums problemer | Strekning, fart og akslerasjon 

 

Innledning Til toppen

Den deriverte har mange anvendelser. Nedenfor føler noen av dem, men først kommer et avsnitt om funksjonsdrøfting.

Funksjonsdrøfting Til toppen

Funksjonsutrykket f(x)

f(x) = 0 Løsningene av ligningen gir alle funksjonens nullpunkter (der grafen krysser x aksen).  

Den deriverte f’(x)

f’(x) = 0 Løsningen av ligningen gir x verdiene for maksimums- eller minimumspunkter til f, også kalt ekstremalpunkter. Dersom f’(x) er positiv vokser f(x). Er f’(x) negativ avtar f(x). Grafen til f’(x) viser vekstforløpet til f(x). For å avgjøre om et ekstremalpunkt er et toppunkt eller et bunnpunkt lager man et fortegnsskjema. For å få med alle funksjonens ekstremalpunkter må man også sjekke punkter der funksjonen ikke er deriverbar, som knekkpunkter og endepunkter.

Den dobbelderiverte f’’(x)

f’’(x) = 0 Løsningen av ligningen gir vendepunktet(ene) til f. Dersom den dobbelderiverte er en konstant har f ingen vendepunkter. Dersom den dobbelderiverte er negativ krummer grafen sin hule side nedover. Er den dobbelderiverte positiv vender grafen sin hule side oppover.

Eks. 1:

 Fig. 1: Figuren viser sammenhengen mellom en funksjon (3.grad), dens deriverte og dobbelderiverte. Funksjonens maksimums og minimumspunkt korresponderer med x verdien til den derivertes nullpunkter, blå linjer. Funksjonens vendepunkt korresponderer med x verdien til den derivertes ekstremalpunkt (minimumspunkt), og den dobbelderivertes nullpunkt, gul linje

Fortegnsskjema:

Et fortegnsskjema av funksjonen, den deriverte og den dobbelderiverte kan være informativt. Negative verdier fremstilles med en stiplet linje og positive verdier med en heltrukket linje. Funksjonen i eksempel en ser slik ut i et fortegnsskjema:

Fig.2: Den første linjen viser for hvilke x verdier funksjonen er negativ og positiv. Den andre linken viser hvor den deriverte er positiv, negativ og null. Når den deriverte er positiv vokser funksjonen. Når den deriverte er negativ avtar funksjonen. Den deriverte lik null indikerer et ekstremalpunkt. Når den dobbelderiverte er null har funksjonen et vendepunkt. Negativ dobbelderivert indikerer at funksjonen vender sin hule side nedover og positiv dobbelderivert indikerer at funksjonen vender sin hule side oppover.

Grensekostnader Til toppen

 

En kostnadsfunksjon uttrykker hva det koster å produsere x enheter av en vare.

 

Grensekostnaden forteller hvor mye kostnaden øker dersom man øker produksjonen fra x enheter til x+1 enheter.

 

Grensekostnaden er tilnærmet lik den deriverte av kostnadsfunksjonen

 

Eks. 1:

Kostnaden ved produksjon av en vare er gitt som:

 

K(x) = 0,002x 2 + 30x +2000, x [ 0, 3000]

 

Der x er antall enheter.

 

Den deriverte av K(x) er K’(x) = 0,004x + 30

 

Man produseres 500 enheter og ønsker å finne økningen i kostnader når produksjonen økes til 501 enheter:

 

K’(500) = 0,004 · 500 + 30 = 32

 

Det vil koste ca. 32 kroner å øke produksjonen fra 500 til 501 enheter.

 

Kostnaden ved å produsere henholdsvis 500 og 5001 enheter er:

 

K(500) = 0,002 · 500 2 + 30 · 500 + 30 = 15.530kr.

K(501) = 0,002 · 501 2 + 30 · 501 + 30 = 15.562,002kr.

 

Man ser at nøyaktigheten ved å bruke den deriverte er god. Nøyaktigheten er størst når grafen krummer lite.

 

Kostnadsfunksjonen er en matematisk modell og vil trolig ikke gi det helt riktige bildet a virkeligheten. Derfor kan man bruke K’(x) når man skal finne grensekostnaden. Feilen er liten og regningen enklere.

 

Grenseinntekter Til toppen

Dersom inntekten ved salg av et produkt er I(x) der x er solgte enheter er grenseinntekten I’(x). Grenseinntekten forteller hvor mye inntektene øker når salget øker fra x til x+1 enheter.

 

Overskudd Til toppen

 

En virksomhets overskudd er inntekter minus kostnader.

 

O(x) = I(x) – K(x)

 

Overskuddet er størst når O’(x) = 0,

 

vi får:

 

O’(x) = I’(x) – K’(x)

O’(x) = 0

I’(x) – K’(x) = 0

I’(x) = K’(x)

 

Når grensekostnadene er lik grenseinntektene er overskuddet størst.

 

Eks. 2:

En bedrift har muligheten til å produsere 3000 enheter av et produkt. Hvor mange enheter må produseres for å maksimalisere overskuddet?

 

x [ 0, 3000]

 

Kostnadsfunksjonen er gitt som: K(x) = 0,002x2 + 30x +2000

K’(x) = 0,004x + 30

Inntektsfunksjonen er gitt som: I(x) = 0,0001x 2 + 40x

I’(x) = 0,0002x + 40

 

K’(x) = I’(x)

0,004x + 30 = 0,0002x + 40

x = 2632

 

Bedriften får størst overskudd ved å produsere 2632 enheter.

 

 

Maksimums og minimums problemer Til toppen

Derivasjon er et egnet verktøy når man arbeider med maksimering eller minimering fordi den deriverte til funksjonen er null i et maksimumspunktet og minimumspunktet til funksjonen.

 

f’(x) = 0

 

gir deg alltid x verdien i et maksimums eller minimumspunkt, dersom de finnes.

 

Eks. 1

Du har en aluminiumsplate på en ganger to meter og ønsker å forme den til en boks med størst mulig volum.

 

Volumet av boksen er:

 

V(x) = bhl = x(20-2x)(10-2x) = x(200 – 40x – 20x +4x 2) = 4x 3 – 60x 2 +200x

 

 

V’(x) = 12x 2 – 120x +200

Setter den deriverte lik null:

V’(x) = 0

12x 2 – 120x + 200 = 0

 

x = 2,1 (tolkning av svarene fører til at vi forkaster den andre muligheten)

 

Det betyr at boksen får et størst volum dersom den har en høyde på 21 cm.

 

Eks. 2

 

En bonde har en sau og 400 meter gjerde. Hun lurer på hvordan hun kan få det største arealet for sauen, ved å lage en innhegning som er firkantet.

Løsning:

 

Areal:

A(x) = x(200 – x) = 200x – x 2

 

Den deriverte av arealet:

 

A’(x) = 200 – 2x

Setter A’(x) = 0 og får

x = 100

Altså er det et kvadrat som gir størst areal.

Strekning, fart og akslerasjon Til toppen

Et legeme tilbakelegger strekningen s i løpet av tiden t gitt ved s(t)

Legemets fart v er gitt som v(t) = s'(t)

Farten er den deriverte av strekningen.

Legemets akslerasjon a er gitt som a(t) = v'(t) = s''(t)

Akslerasjonen er den deriverte av farten, dvs. den dobbelderiverte av strekningen.

Eks. 3:

En partikkel forflytter seg etter s(t) = 3,7t2

  • Hvor langt forflytter partikkelen seg på 6 sekunder?'
  • s(6) = 3,7 · 62 = 133,2m

 

  • Hva er partikkelen fart etter 4 sekunder?
  • v(t) = s'(t) = 7,4t
  • v(4) = s'(4) =7,4 · 4 =29,6 m/s

 

  • Hvor lang tid tar det før partikkelen beveger seg med 100 m/s?
  • v(t) = 100 m/s gir 100m/s = 7,4t, t =100/7,4 = ca. 13,5s

 

  • Hva er partikkelens akslerasjon? Er akslerasjonen konstant, eller varierer den med tiden?
  • a(t) = v'(t) = 7,4m/s 2
  • Man observerer at t ikke inngår i uttrykket for akslerasjonen, hvilket betyr at den er konstant 7,4 m/s 2, gjennom hele tidsforløpet.

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2018 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS