Vis RSS feed
HJEM    Søk    Logg Inn               
Bevis

Innledning | Direkte bevis | Indirekte bevis- kontrapositivt bevis | Bevis ved moteksempel | Ad absurdum bevis | Induksjonsbevis 

 

Innledning Til toppen

Bevis – bevistyper

Det finnes flere typer matematiske bevis. Matematiske bevis er sentrale for å etablere en sannhet i faget, men de er også viktige i læringsprosessen ved at de skal skape innsikt og forståelse. Det har liten verdi å pugge sekvenser i et bevis om man ikke forstår tankene som ligger til grunn for sekvensene og hva man har som mål.

Direkte bevis Til toppen

Man antar at en påstand er sann, og resonerer seg logisk fram mot en konklusjon.

 

Eksempel 1.:

 

Påstand: ”Kvadratet av et partall er også et partall.”

 

Dersom vi plukker ut et vilkårlig tall p i mengden Z vet vi at x = 2p alltid er et partall.

Vi kvadrerer og får: x 2 = (2p)2 = 4p2= 2(2p2)

Hvilket er et bevis for påstanden.

 

Indirekte bevis- kontrapositivt bevis Til toppen

Ideen er å anta at konklusjonen er feil, og derved at premissene er feil. Det må da være feil at konklusjonen er feil.

 

Dersom man vil bevise at a medfører b, a b er det likeverdig med å bevise

ikke b ikke a.

 

Eksempel 2.:

Dersom produktet av to positive reelle tall er større en 100 så er minst en av faktorene større enn 10.

xy > 100 x ≥ 10 y ≥ 10

Nå antar vi at begge faktorene er mindre eller lik 10:

0 < x 10 0 < y 10 xy 10 · 10 xy 100

Hvilket er et bevis for påstanden i begynnelsen av eksemplet.

 

 

Bevis ved moteksempel Til toppen

- Bevis ved moteksempel

 

Dersom man påstår: ” alle nordmenn har blå øyner” kan det være fornuftig å bruke denne teknikken dersom man ønsker å bevise at påstanden er feil.

 

Det er nok at man finner en nordmann som ikke har blå øyner for å bevise at ”alle nordmenn har blå øyner” er feil.

 

Man kan motbevise en påstand med et eksempel, men man kan aldri bevise en påstand med et eksempel (ikke med to eller flere heller).

 

Eksempel 3.:

 

Vi har følgende påstand:

 

x 2 = y2 x = y

 

Sagt med ord utrykker påstanden at dersom kvadratet av et tall er lik kvadratet av et annet tall så impliserer det at det ene tallet er lik det andre tallet.

 

Dersom x = 2 og y = 2 stemmer begge sider av implikasjonen, men dersom x = 2 og y = - 2 stemmer bare venstre side. Høyre side er feil, og man har bevist at påstanden er feil.

 

 

Ad absurdum bevis Til toppen

Man går ut fra at konklusjonen er feil og at det fører til noe absurd (derav navnet). Det må da være feil at konkusjonen er feil, altså er den riktig.

Induksjonsbevis Til toppen

 

Bevis ved induksjon er delt i to trinn, induksjonsgrunnlaget og induksjonstrinnet.

 

La U(n) være et åpent utsagn som gjelder for alle n ≥ n 0

 

Dersom

1. induksjonsgrunnlaget U(n0) er sann

 

og

2. induksjonstrinnet U(k) U(k+1), k≥ n 0 er sann (k er et vilkårlig naturlig tal)

 

 

så er U(n) sann for alle n ≥ n0.

 

Eksempel:

 

Man ønsker å bevise:

 

1 + 2 + 3 + 4 + …….. + n = n ε N

 

Vi får: U(n): 1 + 2 + 3 + 4 + …….. + n = n ε N (induksjonsgrunnlag)

 

Vi setter n =1 og får:

 

1 på venstre side og

 

på høyre side

 

U(1) er sann.

 

 

Man må nå vise at U(k) U(k+1), k≥ n0 (k er et vilkårlig naturlig tal) er sann.

 

2. (induksjonstrinnet)

 

Premissene i implikasjonen:

U(k): 1 + 2 + 3 + 4 + …….. + k =

U(k+1): 1 + 2 + 3 + 4 + …….. + k + (k+1) =

 

Venstre side av likheten gir: 1 + 2 + 3 + 4 + …….. + k + (k+1) =

 

 

Høyre og venstre side av utsagnet U(k+1) er likt, derved er påstanden bevist.

 

 

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2019 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS