Del 1. Mest for ungdomsskolen | Eksperimentell Sannsynlighet | Teoretisk Sannsynlighet | Disjunkte Hendelser | Uavhengige Hendelser | DEL 2. Mest for videregående skole, men bygger på del 1. | Avhengige Hendelser | Kombinatorikk | Ordnet Utvalg med Tilbakelegging | Ordnet Utvalg uten Tilbakelegging | Uordnet Utvalg uten Tilbakelegging | Uordnet Utvalg med Tilbakelegging
Del 1. Mest for ungdomsskolen ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Hendelser som kan forutsies kalles deterministiske. Hendelser vi ikke kan forutsi,
som for eksempel terningkast, kalles tilfeldige forsøk.
Hvor mange utfall kan et terningkast ha? En terning har øyner fra en til seks,
det betyr at utfallet vil være blant disse. Vi kaller alle mulige utfall for utfallsrommet.
Et enkelt utfall vil være et element i utfallsrommet:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Hva er sjansen for å få fire øyner? Vi kan angripe problemet på to måter:
Eksperimentell Sannsynlighet ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
La oss tenke oss at vi kaster en terning 100 ganger og får 14 firere.
Vi sier da at den relative frekvensen for firere etter 100 kast er 14/100 = 0,14 = 14%.
Sannsynligheten er lik den relative frekvens i "det lange løp". Dersom vi fortsetter å
kaste terningen vil vi oppdage at antall firere vil gå mot et bestemt tall. Vi kan ikke
si at sannsynligheten for å få fire er 14% fordi hundre kast er lite i forhold til "det
lange løp". La oss prøve en annen mulighet.
Teoretisk Sannsynlighet ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Utfallsrommet viser oss at det er seks mulige utfall når vi kaster en terning.
Vi er bare interessert i å få en firer. Bare en av seks muligheter gir en firer.
Det betyr at sannsynligheten for å få en firer i et kast er 1/6 eller 0,167 eller 16,7%.
Vi kan skrive det slik:
P (4) = 1/6 = 16,7%
Vi går ut fra at sannsynligheten for å få en treer er like stor som for en
firer eller et av de andre utfallene. Når det er slik sier vi at vi har en uniform
sannsynlighet.
Om våre teoretiske sannsynlighetsmodeller er gode, er det kun utprøving som kan fortelle oss.
Når vi har en uniform sannsynlighetsmodell er sannsynligheten for en hendelse gitt ved:
(1) |
![](../artikler/sannsynlighet/fo1.png) |
Hva er sannsynligheten for å få en femmer eller en sekser i et terningkast? Sannsynligheten
for å få en femmer er 1/6 og sannsynligheten for å få en sekser er 1/6. Sannsynligheten for
femmer eller sekser blir da:
![](../artikler/sannsynlighet/fo2.png)
Hva er så sannsynligheten for å få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6? Det blir:
![](../artikler/sannsynlighet/fo3.png)
Dersom vi kaller sannsynligheten for å få 6 for P(A), vil sannsynligheten for ikke
å få 6 være P(A*). Vi har da følgende relasjon:
Hendelser som ikke er A skrives A*.
Utfallsrommet kan illustreres slik:
![](../artikler/sannsynlighet/st1.png)
Eks: I en klasse er det noen elever som spiller fotball på fritiden. Disse er A.
De som ikke spiller fotball er A*.
La oss se litt på flere skrivemåter.
Hendelsen A B er alle utfall som er med i A eller B.
Tegnet leses "union" og mengden kan illustreres slik:
![](../artikler/sannsynlighet/st2.png)
Eks: A er alle i klassen som spiller fotball på fritiden.
B er alle som driver friidrett. A B
er alle som spiller fotball eller driver friidrett.
Hendelsen A B
leses "snitt" og er alle utfall som er med i både A og B.
Det kan illustreres slik:
![](../artikler/sannsynlighet/st3.png)
Eks: A er alle i klassen som spiller fotball på fritiden.
B er alle som driver friidrett. A B
er alle som spiller fotball og driver friidrett.
Vi har:
(3) |
P(A B) = P (A) + P (B) - P (A B)
|
Utrykket kalles for addisjonssetningen. Ved å betrakte figuren over ser vi at
leddet -P(A B) må være med for at ikke det rødt
skraverte området skal telles to ganger.
Disjunkte Hendelser ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
kalles det når det ikke er utfall i A
B. Da er A og B disjunkte hendelser. Det kan illustreres slik:
![](../artikler/sannsynlighet/st4.png)
Eks: A er alle i klassen som spiller fotball på fritiden.
B er alle som driver friidrett. Ingen gjør begge deler.
P(A B)=0 (eller P(A B)=Ø)
Dersom vi benytter (3) på disjunkte hendelser ser vi at det siste leddet forsvinner og
addisjonssetningen får følgende form:
(4) |
P(A B) = P (A) + P (B)
|
Uavhengige Hendelser ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Dersom vi kaster en terning en gang, så en gang til, er ikke det andre utfallet påvirket
av det første. Slike situasjoner kaller vi for uavhengige hendelser.
Hva er sannsynligheten for å få to seksere når vi kaster en terning to ganger?
Antall kombinasjoner er som følger:
![](../artikler/sannsynlighet/st6.png)
Dersom A (første kast) og B (andre kast) er uavhengige hendelser er:
(5) |
P(A B) = P (A) · P (B)
|
(produktsetningen for uavhengige hendelser.)
Sannsynligheten for å få en sekser i første kast er 1/6. Sannsynligheten er den
samme i andre kast. Ved å sette inn i (5) ser vi at sannsynligheten for to seksere er 1/36
og det er i samsvar med vår oppstilling av antall kombinasjoner.
Hva er sannsynligheten for å få minst en sekser på to kast? Vi kan da få en
sekser i første kast, eller i andre kast, eller vi kan få en sekser i begge kastene.
Her er antall mulige kombinasjoner.
Av og til kan det være lettere å regne ut antall ugunstige utfall. Hva er sannsynligheten
for ikke å få 6 i første kast? Jo, den er 5/6 og det er det samme som for andre kast.
Sannsynligheten for ikke å få en sekser i det hele tatt blir da 25/36. Sannsynligheten for
minst en sekser må da være 1-25/36 = 11/36. Vi kan se at det stemmer bra med oppstillingen over.
DEL 2. Mest for videregående skole, men bygger på del 1. ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Avhengige Hendelser ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Når vi kaster en terning to ganger er ikke det andre kastet avhengig av resultatet fra
første kast.
Dersom vi trekker to kort uten tilbakkelegging fra en kortstokk, vil den andre trekningen være
avhengig av den første.
I en klasse med 30 elever spiller 10 fotball og 5 driver friidrett. 2 gjør begge deler.
Vi setter opp et valgtre og får følgende:
- A: Eleven spiller fotball
- B: Eleven driver friidrett.
![](../artikler/sannsynlighet/tre.png)
Vi finner følgende sannsynligheter:
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiller fotball:
P(A*) = 20/30 = 0,6667
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball:
P(A) = 1 - P(A*) = 0,3333. Du kan også
regne denne direkte fra informasjonen du har i utgangspunktet :
P(A) = 10/30 = 0,3333. Vi ser at
det stemmer bra med valgtreet (selv om det bare har to desimaler i utregningen).
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball og driver friidrett:
P(A
B) = P(A)· P(B | A) = 0,3333 · 0,2 = 0,0666.
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball, men ikke driver friidrett:
P(A
B*) = P(A)· P(B* | A) = 0,3333 · 0,80 = 0,2666.
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiller fotball, men driver friidrett:
P(A*
B) = P(A*)· P(B | A*) = 0,6667 · 0,15 = 0,1000
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke driver med fotball eller friidrett:
P(A*
B*) = P(A*)· P(B* | A*) = 0,6667 · 0,85 = 0,5667
En elev driver friidrett. Hva er sannsynligheten for at eleven spiller fotball?
Vi ønsker å finne P(A | B). Vi har:
P( fotball og friidrett ) = P (friidrett) · P ( fotball gitt friidrett )
Litt mer matematisk:
(6) |
P(A B) = P(B) · P(A | B)
|
Denne setningen kalles produktsetningen for avhengige hendelser, eller den generelle
produktsetningen. Dette gir følgende:
(7) |
![](../artikler/sannsynlighet/bet1.png) |
Som er den setningen vi bruker på betinget sannsynlighet.
Dersom vi setter inn tall i vårt eksempel får vi P(A | B) = 0,0666/0,1666 = 0,4
(P(B) = 0,1 + 0,0666 fordi hendelsene "spiller fotball og driver friidrett"
og "spiller ikke fotball men driver friidrett" ikke kan opptre samtidig og
derved er disjunkte.)
Ved å bruke samme tankegang som over finner vi også:
(8) |
P(A B) = P(A) · P(B|A)
|
Dersom vi kombinerer (7) og (8) har vi at:
(9) |
![](../artikler/sannsynlighet/avheng4.png) |
Setningen kalles Bayes formel.
Kombinatorikk ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
La oss telle litt...
På hvor mange måter kan vi arrangere n elementer?
n = 1
![](../artikler/sannsynlighet/perm1.png)
Muligheter: 1
n = 2
![](../artikler/sannsynlighet/perm2.png)
Muligheter: 2·1 = 2
n = 3
![](../artikler/sannsynlighet/perm3.png)
Muligheter: 3·2·1 = 6
n = 4
![](../artikler/sannsynlighet/perm4.png)
Muligheter: 4·3·2·1 = 24
Dette leder oss til følgende formel:
En n med utropstegn bak leser vi "n fakultet". Det betyr:
n! = n·(n-1)· .. 4·3·2·1
Ordnet Utvalg med Tilbakelegging ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har betydning. Kulen legges tilbake
før neste trekning.
Ved første trekning kan vi velge mellom n elementer. Siden kulen blir lagt
tilbake i urnen før neste trekning er dette situasjonen for k trekninger.
Antall muligheter blir:
Eks:
Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1 - 7.
Hvor mange muligheter finnes?
73 = 343
Det finnes 343 mulige kombinasjoner
Eks:
Hva er muligheten for å vinne i fotballtipping?
Tenk deg en urne med 3 baller med bokstavene H, U og B.
Vi trekker og legger ballen tilbake i urnen.
Dette gjentar vi 12 ganger.
Antall kombinasjoner på en tippekupong blir da:
312 = 531441
Sannsynligheten for å vinne dersom man tipper en rekke blir da 1:531441,
eller litt under to millionedels sjanse.
Ordnet Utvalg uten Tilbakelegging ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har betydning.
Kulen legges ikke tilbake før neste trekning.
Ved første trekning kan vi velge mellom n elementer. Ved andre trekning kan vi
velge mellom (n-1) elementer. Antall mulige kombinasjoner:
(12) |
![](../artikler/sannsynlighet/bin2.png) |
Hvor vi trekker k elementer fra n elementer.
Eks:
Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1 - 7.
Hvor mange muligheter finnes?
![](../artikler/sannsynlighet/bin3.png)
Det finnes 210 forskjellige muligheter.
Uordnet Utvalg uten Tilbakelegging ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har ikke betydning.
Kulen legges ikke tilbake før neste trekning.
Fra ordnet utvalg uten tilbakelegging har vi (12):
![](../artikler/sannsynlighet/bin2.png)
Vi har sett at k elementer kan arrangeres på k! måter. Siden rekkefølgen her
ikke har betydning deler vi formelen over med k! og får:
(13) |
![](../artikler/sannsynlighet/bin1.png) |
Utrykket kalles for binominalkeffisienten.
Eks:
Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1 - 7.
Hvor mange muligheter finnes?
Vi benytter () og får:
![](../artikler/sannsynlighet/bin4.png)
Det finnes 35 muligheter.
Eks:
I Lotto skal du plukke ut 7 forskjellige tall av 34 mulige (vi ser bort fra tilleggstall).
Vi får:
![](../artikler/sannsynlighet/bin5.png)
Med 5.379.616 kombinasjoner er det ca. 10 ganger mindre sannsynlig at man treffer hovedgevinsten
i Lotto enn i fotballtipping.
Uordnet Utvalg med Tilbakelegging ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har ikke betydning. Kulen legges tilbake
før neste trekning.
Det er lite sannsynlig at du får bruk for dette avsnittet,
men det er tatt med for fullstendighetens skyld. Vi har følgende relasjon:
(14) |
![](../artikler/sannsynlighet/bin6.png) |
Eks:
Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1 - 7.
Hvor mange muligheter finnes?
![](../artikler/sannsynlighet/bin7.png)
Det er 84 muligheter.
|