Potenser og Røtter

Potenser

Vi kan skrive 1000 som 10 · 10 · 10 og 100 som 10 · 10. Noen ganger ønsker vi å skrive tallene på denne måten. Å skrive 1.000.000 som 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 er som du ser ganske plasskrevende og tungvindt. Vi innfører derfor en ny måte å skrive tall på, og vi kalle den for potens.

En potens består av et grunntall og en eksponent. Grunntallet i dette tilfellet er 10 og eksponenten er 3.

Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv.

Som vi ser fra vårt eksempel kan potenser ha andre grunntall enn ti.

Følgende regneregler gjelder for potensen:
 

	Regel	Eksempel
1
2
3
4		Definisjon
5
6
7

Merk: I regel nummer 3 er n et positivt heltall.

Normalform

Man kan skrive 100 som 10², men hva med 300? 300 kan skrives som 3 · 100 som kan skrives som 3 · 10². På samme måte kan for eksempel 320 skrives som 3,2 · 10² ?

Dette kaller man normalform eller standardform.

Generelt ser formelen slik ut:

Som det framgår av tabellen over er potenser og normalform en lite plasskrevende skrivemåte når man arbeider med store eller små størrelser.

Kvadratrot og Andre Røtter

Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m. Symbolet for kvadratrot er

Hva er kvadratroten av 4? Tallet som ganget med seg selv gir 4 er 2. Det skrives slik:

Mer generelt er

Roten av et tall (n) kan være et negativt tall. Man kan ikke ta kvadratroten (m) av et negativt tall. Dette er problemer vi lar ligge her.

Ut fra navnet kvadratrot kan det være naturlig å tro et det er en sammenheng mellom kvadratrot og kvadrat. La oss se!

Et kvadrat har sidekanter med lengde k.

Arealet av kvadratet er k · k, eller k². Dersom man setter k = 10 cm betyr det at arealet av kvadratet er 100 cm². Dersom man kjenner arealet av et kvadrat kan vi bruke kvadratroten til å finne lengden av sidekantene. Et kvadrat med areal 81cm² har sidekanter med lengde:

Kvadratroten kalles av og til for andreroten og kan også skrives slik:

På samme måten som man kan ta kvadratroten, eller andreroten av at tall, er det også mulig å ta tredjeroten. Tenk deg en terning med sidekanter k. Vi setter k = 5cm. Volumet av terningen blir V = k³=k · k · k = 5cm · 5cm · 5cm = 125cm³.

Tredjeroten, eller kubikkroten som den også kalles, kan man bruke til å finne sidekanten av en terning dersom man kjenner volumet. Eksemplet over løser man på følgende måte:

Når man skal finne tredjeroten jakter vi på det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, har et produkt tilsvarende tallet under rottegnet. Vi kan skrive et generelt utrykk slik:

Her må n være et helt positivt tall. Dersom n = 2 (kvadratrot) pleier vi utelate 2 - tallet.

Regnereglene er som følger:
 

	Regel	Eksempel
8
9
10

NB:I (10) er m og n positive heltall. I (9) er b forskjellig fra null.