Omregningstabeller | Kongruente Former | Volum og Overflate | Formlikhet | Mangekanter | Tesselering (Flislegging) | Fibonacci | Det Gylne Snitt | Fraktaler | Spiraler
Omregningstabeller ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Lengde
En lengde er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning.
Eksempler på enheter er meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm).
Vi har følgende sammenheng:
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
![](../artikler/geometriIII/tallinjen.png)
Skal man arbeide med flere lengder er det viktig at alle har samme enhet. Vi går fra en
enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 10. Motsatt vei dividerer vi med 10.
Ønsker man for eksempel å gå fra meter til centimeter må man multiplisere med 10 to ganger.
![](../artikler/geometriIII/line.png)
For større lengder har vi enhetene kilometer (km) og mil.
1km = 1000m = 0,1mil. 1 mil = 10km
Areal
Et areal er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning.
Eksempler på enheter er kvadratmeter (m2), kvadratdesimeter (dm2),
kvadratcentimeter (cm2) og kvadratmillimeter (mm2).
Vi har følgende sammenheng:
1m2 = 100dm2 = 10000cm2 = 1000000mm2
![](../artikler/geometriIII/areal.png)
Skal man arbeide med flere areal er det viktig at alle har samme enhet.
Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 100.
Motsatt vei dividerer vi med 100. Ønsker man for eksempel å gå fra kvadratmeter til
kvadratcentimeter må man multiplisere med 100 to ganger.
![](../artikler/geometriIII/flate_tab.png)
Volum
Et volum er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning.
Eksempler på enheter er kubikkmeter (m3), kubikkdesimeter (dm3),
kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmillimeter (mm3).
Vi har følgende sammenheng:
1m3 = 1000dm3 = 1000000cm3 = 1000000000mm3
![](../artikler/geometriIII/3dcube.png)
Skal man arbeide med flere volum er det viktig at alle har samme enhet.
Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 1000.
Motsatt vei dividerer vi med 1000. Ønsker man for eksempel å gå fra kubikkmeter
til kubikkcentimeter må man multiplisere med 1000 to ganger.
Når man regner ut et volum regner vi med en eller flere lengder. Når det arbeides
med flere lengder må alle ha samme enhet. Se avsittet foran, om lengder.
![](../artikler/geometriIII/vol_tab.png)
For større arealer har vi følgende enheter: ar = 100 m2,
daa = dekar = 1 000 m2,
ha = hektar = 10 000 m2,
km2 = kvadratkilometer = 1 000 000 m2.
Kongruente Former ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Geometriske figurer som dekker hverandre helt når vi legger den oppå hverandre
kalles for kongruente. Det kan tenkes at vi må rotere figurene for at de skal
dekke hverandre.
![](../artikler/geometriIII/kongr.png)
Dersom figur B roteres 90º med klokka, ser vi at figur A og B dekker hverandre helt.
A og B er kongruente figurer.
Volum og Overflate ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
![](../artikler/geometriIII/prismegen.png)
Dersom grunnflaten G og toppflaten T er to parallelle, kongruente
plan er volumet gitt ved:
V = Grunnflate · høyde = G · h
Legemets overflate er gitt ved:
O = 2 · Grunnflate + OmkretsGrunnflate · høyde = 2G + OGh
Sylinder
![](../artikler/geometriIII/silynder.png)
![](../artikler/geometriIII/vo2.png)
Pyramide
![](../artikler/geometriIII/kvadpyd.png)
![](../artikler/geometriIII/vopy.png)
Kjegle
![](../artikler/geometriIII/kon.png)
![](../artikler/geometriIII/kovo.png)
Kule
![](../artikler/geometriIII/kule.png)
![](../artikler/geometriIII/kuvo.png)
Formlikhet ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
En trekant er formlik med en annen trekant dersom vinklene i begge trekantene er like store.
Dersom vi skal påvise at to trekanter er formlike må vi vise at to av vinklene i trekantene
er identiske (den tredje gir seg da selv).
![](../artikler/geometriIII/formlik.png)
I denne figuren er rød trekant formlik blå trekant fordi linjene l og m er parallelle og fordi
vinkel C og c er toppvinkler. Vinkel A = a, B = b og C =c. Vi har følgende forhold mellom lengdene
på sidekantene i trekantene:
![](../artikler/geometriIII/prop.png)
Uttrykkene over kalles for proporsjoner og utrykker følgende på norsk:
Forholdet mellom to sider i den ene trekanten er lik forholdet mellom tilsvarende sider
i den andre trekanten. Dette gjelder bare når trekantene er formlike.
Mangekanter ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
En mangekant er en geometrisk figur med tre eller flere kanter.
Alle mangekanter kan deles inn i trekanter. Alle trekanter har en vinkelsum på 180º
![](../artikler/geometriIII/nkant.png)
En figur med n kanter kan deles opp i (n-2) trekanter.
Vinkelsummen av n - kanten blir (n-2)180º.
Regulære mangekanter
En regulær mangekant er en geometrisk figur der alle sider
er like lange og alle vinkler er like. I en regulær n - kant er vinkelen
![](../artikler/geometriIII/nkantfo.png)
Alle regulære mangekanter kan innskrives i en sirkel, som vist under.
Tilsvarende sier vi at sirkelen er omskrevet en mangekant.
![](../artikler/geometriIII/div.png)
Tegning av Regulære Mangekant
Vi kan tegne regulære mangekanter på følgende måte: Slå en sirkel.
Avsett et tilfeldig punkt på sirkelbuen. Dersom du skal tegne en n-kant deler du
gradeantallet i sirkelen (360º) på n. La oss tegne en 9 kant. Da får vi
360º : 9 = 40º.
Vi bruker transportøren (gradeskiven) og deler sirkelperiferien opp i 40 graders sektorer.
Tegningen kan se slik ut:
![](../artikler/geometriIII/oversikt.png)
Legg merke til at mangekantens vinkel øker sterkt når n er liten, men avtar med voksende n.
Når n blir stor går mangekanten mot en sirkel.
Tesselering (Flislegging) ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Å dekke en flate med fliser kalles tesselering. Til dette kan man bruke flis med
varierende størrelse og form. Dersom man ønsker å bruke regulære mangekanter må man
være oppmerksom på følgende: Der to eller flere mangekanter møtes blir
vinkelsummen 360º.
![](../artikler/geometriIII/vinksum.png)
Det betyr at den regulære mangekantens vinkel må innfri følgende krav:
Mangekantens vinkel · Antall flis som møtes =360º
Dersom ikke dette er oppfylt vil ikke flisene dekke hele flaten. Det vil bli en glipe i punktet
der flere flis møtes. Fra tabellen avsnittet om mangekanter ser vi at det kun er
regulære tre-, fire- og sekskanter som oppfyller dette kravet.
![](../artikler/geometriIII/seksflis.png)
Figuren viser tesselering med forskjellige typer regulære mangekanter. Vi ser at med regulære
femkanter blir det umulig å dekke flaten. Man kan selvfølgelig benytte forskjellige regulære mangekanter
til tesseleringen.
Fibonacci ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Vi har tallfølgen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,........
Tallene kalles for Fibonaccitallene og fremkommer ved at et tall i følgen er summen av de
to foregående.
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
n > 2
Disse tallene finner du igjen i naturen, i mange sammenhenger. Dersom man ønsker et grafisk bilde
av tallene kan man tenke seg at tallene beskriver sidene i et kvadrat. Når man legger kvadratene
ved siden av hverandre kan man oppnå følgende mønster:
![](../artikler/geometriIII/fib.png)
Fibonacci var en Italiensk matematiker som levde mellom 1170 og 1250.
De påståes at han kom fram til disse tallene ved å studere kaniner.
Tenk deg følgende:
- På en øy der det ikke finnes kaniner setter du ut et nyfødt par.
- Kaninene føder kun en hunn og en hann.
- Kaninmoren føder et nytt par hver måned, to måneder etter at hun selv er født.
- Ingen kaniner dør.
Hva synes du om denne modellen? Dersom vi følger modellen,
hvor mange kaniner er det på øya et år senere?
Figuren under setter deg på sporet..
![](../artikler/geometriIII/kanin.png)
Det Gylne Snitt ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Det gylne snitt er en måte å dele linjer på. Dette forekommer når forholdet
mellom linjestykkene er som følger:
![](../artikler/geometriIII/gylden2.png)
-
Dette kan du kontrollere ved å sett x og 1 inn i proporsjonene,
som vist på figuren over. For å kunne løse problemet trenger du kjennskap til
andregradsligninger.
Dersom b deler linjestykket AC i et gyllent snitt har vi følgende:
AC = 1,618AB
AB = 0,618AC
Vi finner det gylne snitt ved konstruksjon på følgende måte:
- Tegn linjestykket AC og halver det.
- Konstruer normalen til AC gjennom C
- CD=½AC. Trekk linjen AD
- CD = CE
- AE = AB
- Linjestykket AC er nå høydelt ved B (gylne snitt).
![](../artikler/geometriIII/gylkons.png)
Det gylne snitt spiller en sentral rolle i fotografi og annen billedkunst.
Dersom vi benytter det ovenstående på sidene i et fotografi får vi følgende:
![](../artikler/geometriIII/gylfoto.jpg)
Som du ser kan det gylne snitt også anvendes på flate.
En gyllen trekant er en likebeint trekant der forholdet mellom langside
og kortside er 1,618.
Du har tidligere stiftet bekjentskap med Fibonaccitallene.
Dersom vi tar Fib(2):Fib(1), Fib(3):Fib(2), Fib(4):Fib(3)...osv.
Finner vi følgende:
![](../artikler/geometriIII/fibtab.png)
Plotter vi grafen ser det slik ut:
![](../artikler/geometriIII/gylplott.png)
Fraktaler ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
Tenk på strømningene i en stri bekk, skyene på himmelen og sanddyner som formes.
Alle disse systemene er i stadig endring og kan se ut som det reneste kaos.
Fraktalgeometrien ble utviklet for å analysere og beskrive slike kaotiske systemer.
En fraktal er en kurve, figur eller gjenstand som er formlik med seg selv. Deler av
fraktalen har samme form som hele fraktalen. Man kan tenke seg en fraktal som en
uendelig lang linje på et endelig areal. La oss se:
![](../artikler/geometriIII/frak1.png)
Utviklingen av datateknologi og regnekraft må ta mye av æren for fraktalenes popularitet.
I tillegg til at de kan hjelpe oss til å forstå kompliserte problemer er de jo ganske
pene å se på også. Nedenfor ser du eksempler på fraktaler.
![](../artikler/geometriIII/frak2.png)
Dersom du har mobiltelefon er det svært sannsynlig at antennen i telefonen har en
fraktalgeometri.
Spiraler ![Til toppen](http://matte.grunnstoff.net/templates/spiffy/images/arrow_top_blue.png)
En spiral er en kurve som beskrives av et punkt som roterer rundt en pol,
et fast punkt, som det roterende punkt fjerner seg fra.
Det finnes mange varianter av både krumme og brukkne spiraler. To
krumme er disse:
Arkimedes' Spiral
![](../artikler/geometriIII/pyr1.png)
Tenk deg en stor klokke som har en to meter lang "langeviser" (den som
bruker en time på en runde.)Tenk deg vider at en flue sitter i sentrum av klokken,
men på denne viser. Fluen begynner å gå mot tuppen av viseren med en konstant fart
på 0,5 meter per time. Bevegelsesmønsteret til fluen er beskrevet ved denne type spiral.
Avstanden mellom hvert omløp er det samme.
Ligningen i polare koordinater er r=aθ der r er radien, a er en
konstant og θ er vinkelen.
Logaritmisk Spiral
En logaritmisk eller likevinklet spiral er formlik med seg selv og alle andre
likevinklede spiraler. Det betyr at spiraler av denne typen er sammenfallende
dersom man forstørrer/ forminsker. Spiralens avstand til "seg selv" øker for
hvert omløp. Vinkelen θ, mellom en linje OP og spiralen, er fast.
|