9. Algebra
9.1 Mer om prosenter
Regel:
Hvis a er et positivt tall og n er et naturlig tall, er
Eksempel:
Regel:
Hvis a er et positivt tall, m et helt tall og n et naturlig tall, definerer vi
eller
|
Eksempel:
9.2 Kvadratsetningene
Første kvadratsetning:
| Andre kvadratsetning:
| Tredje kvadratsetning:
|
9.3 Faktorisering
Et uttrykk består av flere ledd dersom det er sammensatt av flere
deluttrykk med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket
består av de tre leddene 5xy, 3(x+y) og y2.
Eksempel:
9.4 Fullstendige kvadrater
Regel:
Uttrykket x2+bx+c er et fullstendig kvadrat dersom
.
Da er
9.5 Nullpunkter og faktorisering
Regel:
Dersom andregradsuttrykket ax2+bx+c har nullpunktene
x=x1 og x=x2, er
Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt x=x1, er
Dersom andregradsutrrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer.
9.6 Nullpunkter og koeffisienter
Regel:
Produktet av nullpunktene til andregradsuttrykket x2+bx+c er lik tallet c.
Summen av nullpunktene er lik tallet -b.
9.7 Rasjonale uttrykk
Et rasjonalt uttrykk er en brøk med bokstavuttrykk i telleren og i nevneren. Uttrykket
er et eksempel på et slikt rasjonalt uttrykk.
Vi bruker regnereglene for brøker når vi omformer rasjonale uttrykk.
Eksempel:
9.8 Rasjonale likninger
En brøk er ikke definert når nevneren er null.
I rasjonale uttrykk må vi derfor passe på at nevneren ikke blir null.
I uttrykket
er nevneren null når x = 0, og når x = 2.
Det er ikke mulig å sette inn x = 0 eller x = 2 i uttrykket.
Derfor må vi forutsette at x ≠ 0 og x ≠ 2 når vi regner med dette uttrykket.
Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser likninger der den ukjente er med i nevneren.
("≠" betyr "ikke lik" , i motsetning til "=", som betyr "lik")
9.9 Ikke-lineære likningssett
Når vi skal løse to likninger med to ukjente der den ene av likningene er av andre grad,
finner vi et uttrykk for en av de ukjente fra førstegradslikningen,
og sette denne inn i andregradslikningen.
Eksempel:
Løs likningssettet
3x + y = 3
3x2 - y2 = -9
Løsning:
Førstegradslikningen gir y = 3 - 3x.
Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen.
Det fins to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi.
gir
gir
Løsningene blir:
x = 0 og y = 3
eller
x = 3 og y = -6
9.10 Beviset for andregradsformelen
Funnet totalt irrelevant for prøver, og er derfor sløyfet fra regelboka.
|