Ulikheter

Innledning

Ulikhetstegnene < og > brukes til å fortelle at en størrelse er mindre eller større enn en annen.

x > y leses ”x er større enn y”

x < y leses ” x er mindre enn y”

I tillegg har man tegnene ≥ som leses "...større eller lik..... ", og som leses "...mindre eller lik...".

Ulikheter løses som ligninger med et viktig unntak:

Eks 1:

4 > 2

Usagnet forteller oss at fire er større enn to, noe som er riktig ut fra vår forestiling om tallenes verdi. Dersom vi multipliserer utrykket med -1 får vi:

-4 < -2

Vi har snudd ulikhetstegnet og observerer at utsagnet er riktig fordi -4 er mindre enn -2.

Ulikheter der deler av x (i første) inngår løses som en ligning. Alle ledd med x samles på venstre side og trekkes sammen, og alle tall samles på høyre side og trekkes sammen.

Eks 2:

4x -2 > 10 – 2x

4x +2x > 10 + 2

6x > 12

x > 2

I eksempel 2 har vi kun brukt de samme reglene som gjelder for behandling av ligninger.

Legg merke til at det er uendelig mange x verdier som passer i ulikhetene i eksempel 2 og 3.

Eks 3:

17x + 10 > 30 + 27x

17x - 27x > - 10 + 30

- 10x > 20

-x > 2

x < -2

Eksempel 3 viser det grep som er spesielt for ulikheter; når man multipliserer eller dividerer med et negativt tall må man snu ulikhetstegnet.

En viktig konsekvens av dette er at man ikke uten videre kan multiplisere begge sider av ulikheten med x, fordi man ikke vet om man multipliserer med en positiv eller negativ størrelse.

Poenget med et fortegnsskjema er å klargjøre for hvilke x - verdier et utrykk er positivt og for hvilke verdier det er negativt. Dette gjør man ved å faktorisere uttrykket for så å tegne en fortegnslinje for den enkelte faktor.

Eks 4:

La oss se på utrykkene 5, x og (x + 3). Vi ønsker å tegne et fortegnsskjema for hvert av de tre uttrykkene.

Man markerer negative verdier med en stiplet linje og positive verdier med en heltrukket linje.

• 5 er et positivt tall og verdien er positiv uavhengig av eventuell x verdi.
• x er en variabel som skifter fortegn ved 0.
• Uttrykket x+3 er negativt fra minus uendelig til -3. I -3 er uttrykket null. For verdier større enn – 3 er uttrykket positivt.

Produktet av 5, x og (x + 3) er uttrykket 5x² + 15x.

• Ut fra fortegnsskjemaet og regler for multiplikasjon ser man at uttrykket 5x² + 15x er negativt for alle x i intervallet fra -3 til 0, fordi positiv verdi multiplisert med positiv verdi, multiplisert med negativ verdi, er en negativ verdi (se fortegnsskjema).
• For x = -3 og for x = 0 er uttrykkets verdi lik null.
• For alle andre x verdier er uttrykket positivt (negativ multiplisert med negativ multiplisert med positiv, og positiv multiplisert med positiv multiplisert med positiv er begge positive størrelser.)

Ulikheter med rasjonale funksjoner (brøkfunksjoner)

Eks. 5:

Ulikheten

løses ved hjelp av at fortegnsskjema. Vi lager en fortegnslinje for hver faktor i brøken. I dette tilfellet er det en faktor i teller og en i nevner:

Fra skjemaet ser man at telleren skifter fortegn i x = – 2 og har verdien 0 i dette punkt.

Nevner er null i x = 1, der den skifter fortegn.

Det er viktig å merke seg at brøken ikke er definert for x=1 fordi verdien av nevneren er null.

Brøken er null når telleren er null, i -2.

Fra skjemaet leser vi at brøken er større eller lik null i x [ -2, 1 >.

Eks. 6:

En noe mer komplisert oppgave kan se slik ut:

Ulikheter med andregradsuttrykk

ax ² + bx +c > 0

Ulikheten løses ved å faktorisere 2. gradsuttrykket og tegne fortegnsskjema for hver enkelt faktor.

Eks. 7:

3x ² < 3x + 6

3x ² - 3x – 6 < 0

3(x-2)(x+1) < 0

Fortegnsskjema ser slik ut:

Fra fortegnsskjemaet ser man at ulikheten er mindre enn null fra x større enn - 1 til x mindre enn 2. Eller:

x <-1,2>

Ulikheter med andregradsuttrykk og brøk

En ulikhet kan gjerne bestå av en brøk som inneholder et andregradsuttrykk. Man ordner ulikheten slik at man får et uttrykk med null på den ene siden, for eksempel:

Eks. 8:

For å oppfylle ulikheten ser man fra fortegsskjemaet at:

Dersom ulikheten består av både brøk og andregradsutrykk gjelder fortsatt faktorisering og fortegnsskjema.

Det kan være verdifullt å bruke 30 minutter på å finne ut hvordan kalkulatoren håndterer ulikheter, selv om du bare bruker den som en kontroll på at du har regnet riktig.