log(-1) + log(-3) = ?

[Eksplisitt]

Jeg har lært at [tex]\log(x) + \log(y) = \log (x \cdot y)[/tex]. Benyttes denne på stykket i emnetittel får jeg:

[tex]\log ((-1) \cdot (-3)) = \log (3) \approx 0.47712[/tex]

Dette stemmer ikke hvis man i stedet sier at:

[tex]\log (-1) + \log (-3) = \frac{i \pi}{\ln(10)} + \frac{\ln(3) + i \pi}{\ln(10)} \approx 0.47712 + 2.72875 i[/tex]

Hvor har jeg gjort feil?


(ln er her den naturlige logaritmen, og log er logaritmen med 10 som basis.)

[Realist1]

Nå så jeg ikke på hele stykket ditt, men generelt skal man ikke regne med logaritmen av negative tall, fordi det er umulig. Litt som å regne stykker der man deler på 0. Så vidt jeg vet gjelder logaritmereglene bare for positive tall. Noen som kan bekrefte eller avkrefte? Det er som kjent umulig å ta logaritmen av et negativt tall. Når du bruker regelen som du gjør her, med å si at log(-1)+log(-3) = log(3), så bare "utsetter" du problemet.

Litt som å si at a/0 : b/0 = a/b. Dette er også feil, fordi man regner med ugyldige verdier underveis.

Dette er litt utenfor mitt felt, så jeg håper noen andre kan komme inn og kommentere her.

[Eksplisitt]

Her kan du lese om negative logaritmer: http://mathforum.org/library/drmath/view/61830.html

[Nebuchadnezzar]

[tex]\log(-1) = i\pi[/tex]

[tex]\log(-3) = log(3)+i\pi[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lo ... log%283%29

[Eksplisitt]

Ja, og det har jeg også kommet fram til. Det jeg er ute etter er en forklaring på hvorfor regelen om at [tex]\log(x) + \log(y) = \log(x \cdot y)[/tex] ikke gjelder.

[FredrikM]

Her kan du lese om negative logaritmer: http://mathforum.org/library/drmath/view/61830.html

Husk at på høyere nivå bruker man "log" også for den naturlige logaritmen.

Dessuten er det mye å passe på når man begynner å leke med den komplekse utvidelsen av logaritmen. "Branc cuts" er et irriterende eksempel.

[Realist1]

Hvor har jeg gjort feil?

Du har ikke gjort feil.

Her er den eksakte verdien til log(-1)+log(-3), og den er lik den du har funnet. Den enkle regneregelen log(a)+log(b)=log(ab) er ikke akkurat veldig vanskelig å utføre, og jeg er enig i at dette skal bli log(3), som har en annen verdi enn log(-1)+log(-3).

Med andre ord, feilen er ikke din - i den forstand at regneregelen tydeligvis ikke gjelder i dette tilfellet, og ikke at du har regnet feil.

[Eksplisitt]

Når

[tex](-3) \cdot (-1) = 3[/tex]

må vel også

[tex]10^{\log(-3)} \cdot 10^{\log(-1)} = 10^{\log(3)}[/tex]

?


Isåfall, hvorfor er ikke

[tex]\log(-3) + \log(-1) = \log(3)[/tex]

?

[lurkelærer]

For å forenkle, kan du bruke ln hele veien.

Rett frem med logaritmereglene:
[tex]\ln (-1) + \ln (-3) = i \pi + \ln(3) + i \pi = \ln(3) + 2\pi i[/tex]

Hva blir e opphøyet i dette tallet?
[tex]e^{\ln(3) + 2\pi i} = e^{\ln(3)} \cdot e^{2\pi i} = 3 e^{2\pi i}[/tex]

Vinkelen [tex]2\pi[/tex] er den samme som vinkelen 0, altså tilsvarer [tex]3 e^{2\pi i}[/tex] det reelle tallet 3. Når du tillater komplekse tall, vil det være uendelig mange logaritmer til et tall. I dette tilfellet ln(3) pluss et partall antall pi i.

"Branch cuts" er som nevnt søkeordet, hvis du vil se hvor dypt kaninhullet er. Jeg håper jeg ikke har gjort prosjektoppgaven din i matematikk X nå.

[Eksplisitt]

[tex]\log_{10}(x) = 10[/tex]

Mener du at x her har uendelig antall løsninger? Isåfall, hvordan finner man noen av disse?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... Log10.Log-

(«*FunClash.log-_*Log10.Log-» er altså en del av lenken. URL-taggene oppfører seg ikke som de skal, og er derfor utelatt fra posten.)

Hvorfor sier Wolfram|Alpha at det kun er [tex]x = 2 \sqrt{6}[/tex] som er riktig løsning? Stemmer det ikke også med [tex]x = -2 \sqrt{6}[/tex]?

(Dette er ikke noen prosjektoppgave, nei.)

[Eksplisitt]

Noen som vet?

[Eksplisitt]

Ikke?

[Markonan]

Det er forskjell på den naturlige logaritmen og den komplekse logaritmen.

Den naturlige logaritmen er bare definert for positive, reelle tall.
[tex]\text{Log}(a) = \int_0^a \frac{1}{x}dx[/tex].

Den komplekse logaritmen er definert for alle komplekse tall (unntatt z = 0):
[tex]\log z = \text{Log}|z| + i\text{arg} z[/tex]
der Log |z| er den naturlige logaritmen definert over. Siden z [symbol:ikke_lik] 0 vil |z| alltid være større enn null. Siden alle komplekse tall har uendelig mange representasjoner, kreves det at argumentet til z skal ligge i intervallet
(-[symbol:pi] , [symbol:pi] ].

Så når du skal bruke regelen
[tex]\log(z_1z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)[/tex] som du må gjøre når du jobber med negative tall, må du skrive det komplekse tallet på formen i definisjonen, dvs det du gjorde i det første innlegget ditt.

[Eksplisitt]

Ok, takk. Må se litt grundigere på dette før jeg forstår det.

Men hvorfor gir Wolfram|Alpha bare én løsning i ligningen jeg lenket til?

[Markonan]

Hele opplegget rundt den komplekse logaritmen er ikke noe man kommer borti før man tar et kurs i kompleks analyse, som vanligvis er andre året i en bachelorgrad, og til og med da så er man bare så vidt borti det.

Jeg tror mao. det ikke er nødvendig å miste nattesøvn over det her!

Angående oppgaven vil jeg si det er fordi selv om
[tex]x = \pm 2\sqrt{6}[/tex]
er løsninger til x[sup]2[/sup] = 24, så er det bare den positive verdien som oppfyller den opprinnelige ligningen pga definisjonsmengden til logaritmen.