Oppgave fra nye eksamen 2015 1T

[Drezky]

Hei, folkens! Jeg sitter her med en oppgave fra eksempelsoppgavene til eksamen 2015 fra udir. Oppgaven er slik

Jeg finner først en formel for arealet av vinduet. Dette har jeg kommet fram til: [tex]Vindu{\color{Red} omkrets}=\pi r+2h+2r=8[/tex]
Formelen for Arealet blir da følgelig. [tex]A=(\frac{\pi r^{2}}{2})+(h*2r)[/tex], Jeg finner deretter h utrykkt ved pi og r ved omkretsen, da får jeg: [tex]{\color{Blue} h}=\frac{8-2r-\pi r}{2}[/tex]
For å finne ut størst areal av vinduet må jeg først derivere funksjonen - til areal - og deretter finne x-verdien i makspunktet, slik at jeg kan sette denne x-verdien inn i min opprinnelige funksjon for Areal - som vist ovenfor.
Da får jeg : [tex]A=(\frac{\pi r^{2}}{2})+(h*2r)[/tex] , [tex]A'(x)=\pi r+2h[/tex]
Jeg må vell først sette inn verdien for h - funksjonen før jeg kan derivere? [tex]A(x)=(\frac{8-2r-\pi r}{2})*2r+\frac{\pi r^{2}}{2}[/tex]

Hvordan i alle dager skal jeg klare å derivere den her-??? - Ps, gjør jeg riktig ?

[Fysikkmann97]

Tror det er meningen å derivere ved å bruke CAS. Dette finner du i f.eks GeoGebra ved å (iallefall på Mac) bla i menyen "Vis" og finne CAS. Skal ikke være noe vanskeligere om du bruker Windows vil jeg tro.

[hansslang]

Hva skjer om du trekker sammen uttrykket [tex]A(r)=\frac{8-2r-\pi r}{2}\cdot 2r+\frac{\pi r^{2}}{2}[/tex]? Når du har trukket sammen dette vil du få et fint uttrykk (så sant du har gjort de andre stegene riktig), og da kan du derivere med hensyn på [tex]r[/tex]

[Drezky]

Tror det er meningen å derivere ved å bruke CAS. Dette finner du i f.eks GeoGebra ved å (iallefall på Mac) bla i menyen "Vis" og finne CAS. Skal ikke være noe vanskeligere om du bruker Windows vil jeg tro.

Problemet er at jeg er ute etter forståelse. Hvis jeg ikke forstår oppgaven (derivasjonsstykket), vil jeg kanskje møte på en i fremtiden, der det krever forståelse

[hansslang]

Oppgaver som denne kommer du til å møte på ofte, men det er spesielt mye i 1T føler jeg. Det handler om at du klarer å lage en funksjon av arealet til en figur, med en av lengdene på figuren som ukjent. Hvis du grafer en slik funksjon vil du se at arealet til figuren varierer med lengden av den ukjente lengden. Grafen vil ofte ha et toppunkt (kan være bunnpunkt) som da gir deg maksimal (eller minimal) verdi for arealet av gitt figur. Men å finne eksakte verdier for disse ekstremalpunktene har du vel allerede lært?

[Fysikkmann97]

Det er meningen at du skal løse slikt med CAS. Jeg går selv S1 nå, og der fikk vi en oppgave helt til slutt som vi sparte oss for mye med å bruke CAS. Om du vet hva den deriverte er, så vet du også hva den deriverte av den funksjonen er. Hvordan du deriverer slike funksjoner vil du komme tilbake til senere (S2/R1 og høyere). Noe med målet til Udir er nok å få lagt inn noen mer kompliserte oppgaver som er ment til å løses med CAS og graftegnere, for å få elevene vise mer kompetanse.

[hansslang]

Ja, enig i at en slik oppgave på del to er absolutt ment for CAS. Men jeg tror det kan være nyttig å prøve å komme frem til uttrykkene for hånd nå som du bare "trener", men på en eksamen er det bare å dytte alt inn i CAS, for da vet du hva du gjør.

[Drezky]

Hva skjer om du trekker sammen uttrykket [tex]A(r)=\frac{8-2r-\pi r}{2}\cdot 2r+\frac{\pi r^{2}}{2}[/tex]? Når du har trukket sammen dette vil du få et fint uttrykk (så sant du har gjort de andre stegene riktig), og da kan du derivere med hensyn på [tex]r[/tex]

Yess, hva nå
Sliter å derivere...
Ville selvsagt gjort det her på cas på eksamen for å spare tid, men nå som jeg øver, vil jeg først og fremst forstå


Vill det vært slikt [tex]A'(x)=r-4r-2\pi r +?[/tex] Jeg klarer ikke å derivere denne siste biten , får jeg da pi*r * 2^-1 ?

[hansslang]

Om det er lettere for deg kan du bytte ut [tex]r[/tex] med [tex]x[/tex] og så derivere med hensyn på [tex]x[/tex] på helt vanlig måte

[Fysikkmann97]

Det er bare å bruke derivasjonsreglene, ledd for ledd, der r er variabelen, og ikke x.

[Fysikkmann97]

Vill det vært slikt [tex]A'(x)=r-4r-2\pi r +?[/tex] Jeg klarer ikke å derivere denne siste biten , får jeg da pi*r * 2^-1 ?

Derivasjon av potenser:
(kx^n)' = n*kx^(n-1)

Der k og n er konstanter.

Bruker du denne regelen på en potens med n = 1, vil du få at den deriverte av det leddet er k, siden (kx^1)' = 1*kx^(1-1) = kx^0 = k.

[Drezky]

Vill det vært slikt [tex]A'(x)=r-4r-2\pi r +?[/tex] Jeg klarer ikke å derivere denne siste biten , får jeg da pi*r * 2^-1 ?

Derivasjon av potenser:
(kx^n)' = n*kx^(n-1)

Der k og n er konstanter.

Bruker du denne regelen på en potens med n = 1, vil du få at den deriverte av det leddet er k, siden (kx^1)' = 1*kx^(1-1) = kx^0 = k.

Blir den deriverte: [tex]A'(r)=-4r+8[/tex]
[tex]A'(r)=0,[/tex]
[tex]r=2[/tex]
Dermed så er det største arealet: [tex]A(2)=8*2-2*2^{2}-\pi *2^{2}+\frac{\pi *2}{2}=[/tex]
Arealet av vinduet blir da: -1.42477, noe som ikke stemmer fordi du kan ikke ha negativ verdi på areal.... frustrerende

[hansslang]

Ser ut som du har klemt å få med deg leddet [tex]-\pi r[/tex] når du deriverte [tex]A(r)[/tex]

[Fysikkmann97]

Du glemmer ett ledd.

Du har [tex]A(r)=8r - 2r^{2} - πr^{2} + \frac{πr}{2} -> A'(r)= 8 - 4r - 2πr + \frac{π}{2}[/tex]

[Drezky]

Ops, jeg ser feilen. Hvis man har at gitt at [tex]A'({\color{Green} r})=8-4r-2\pi r+\frac{\pi }{2}[/tex]
Man setter da dette = 0,
[tex]A'(r)=0, \rightarrow[/tex]
[tex]8-4{\color{Green} r}-2\pi {\color{Green} r}+\frac{\pi }{2}=0[/tex]
[tex]{\color{Green} r}=\frac{\pi +16}{4*\pi +8}[/tex]
Setter dette inn i arealfunksjonen, og får dermed arealet:
= Etter og ha regnet for hånd (har ikke hatt tilgang til geogebra, får jeg at arealet blir med den radiusen i halvsikrelen blir [tex]\frac{334}{25}=13.36[/tex]
Jeg ser likevel mer fordel med å bruke cas på geogebra