Eksamensoppgave- Definisjonen av den deriverte

[Skviseteoremet]

https://www.dropbox.com/s/6bmxxwgkt41i8 ... n.png?dl=0

Tenker at setter det inn i definisjonen, samtidig som at man putter 0 for x. Får da lim h->inf h*cos(1/h)=inf

Eller gjelder 0, x=0 for den deriverte også?

[Vektormannen]

Nei, det blir riktig å bruke definisjonen slik du gjør, men jeg tror du husker den litt feil. h skal gå mot 0, ikke uendelig!

[Skviseteoremet]

Nei, det blir riktig å bruke definisjonen slik du gjør, men jeg tror du husker den litt feil. h skal gå mot 0, ikke uendelig!

Ok, kan du peke meg i riktig retning?

[Vektormannen]

Det blir som du har gjort, bare at h går mot 0 i stedet for $\infty$:

$f^\prime(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cos(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \cos(1/h)$

Da kan teoremet du bærer navnet til komme til nytte :>

[Skviseteoremet]

Det blir som du har gjort, bare at h går mot 0 i stedet for $\infty$:

$f^\prime(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cos(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \cos(1/h)$

Da kan teoremet du bærer navnet til komme til nytte :>

Hehe, får da at grenseverdien blir 0. Kan man da si at f er deriverbar for x=0, siden den deriverte av en "konstant" er lik 0 (mtp. at variabelen x er byttet ut med 0)?

[Vektormannen]

Du kan si at f er deriverbar i x = 0 fordi denne grenseverdien, som definerer hva den deriverte er, eksisterer (merk: det er ikke det at den blir 0 som er viktig, men at den eksisterer).

Det er ikke slik at den deriverte blir 0 bare fordi den deriverte av 0, som er funksjonens verdi i x = 0, er 0 (en konstant). Alle funksjoner har jo en konstant verdi i ett eneste punkt, men derivasjon er en prosess som også involverer hva som skjer med funksjonen rundt punktet av interesse. Ta f.eks. funksjonen $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} x^2, & x \neq 2 \\ 4, & x = 2\end{array}\right.$. Dette er bare en annen måte å skrive $f(x) = x^2$ på (siden $2^2 = 4$), så vi vet at $f^\prime(x) = 2x$ for alle $x$, og at $f^\prime(2) = 4$. Hadde vi bare derivert hver "delfunksjon" hver for seg, så hadde vi fått at den deriverte er $x^2$ i alle punkt utenom $x = 2$, og $0$ i $x = 2$. Derfor må definisjonen av den deriverte brukes i slike tilfeller. Bruker vi den her får vi såklart bare at $f^\prime(2) = 4$.