For hvilke p konvergerer rekken:
[tex]\sum_{n=1}^{infty} (-1)^n n^p sin (1/n)[/tex]
absolutt eller betinget?
Dette har jeg gjort:
Siden sin 1/n [tex]\leq[/tex] 1 har vi [tex]n^p sin (1/n) \leq n^p[/tex]
Absoluttverdien av rekken er
[tex]\sum_{n=1}^{infty} n^p sin (1/n) \leq n^p[/tex]
Det vil si at for p verdier som n^p konvergerer, vil også n^p sin (1/n) konvergere (siden den er mindre eller lik)
Dvs:
n^p = 1/n^-p , som konvergerer for p < -1
Det jeg har funnet ut er at rekken konvergerer absolutt for p<-1.. Men når divergerer den, og når konvergerer den betinget?
Absolutt og betinget konvergens
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis du ser på [tex]p \geq 0[/tex], så vil ikke [tex](-1)^n n^p \sin \frac{1}{n}[/tex] gå mot null, og ved divergenstesten vil rekka altså divergere.
Da gjenstår [tex]p \in [-1,0)[/tex]. Her vil kanskje testen for alternerende rekker funke.
Da gjenstår [tex]p \in [-1,0)[/tex]. Her vil kanskje testen for alternerende rekker funke.
Bachelor i matematiske fag NTNU - tredje år.
-
- Dirichlet
- Innlegg: 164
- Registrert: 08/01-2012 01:48
[tex] \lim_{ n \to \infty } \, n \, \cdot \, \sin( n^{-1} ) \, = \, 1 [/tex]
Så du trenger nok også et argument for
[tex] p \in [0, \, 1) [/tex].
En passende grensesammenligningstest kan trolig benyttes.
Så du trenger nok også et argument for
[tex] p \in [0, \, 1) [/tex].
En passende grensesammenligningstest kan trolig benyttes.