Konvergering

[Baz]

[tex]\sum_{n=1}^{infty}\frac{ln(2^n +1)}{n^2}[/tex]

[tex]ln(2^n + 1) = ln (2^n) = n (ln 2) [/tex]

Så da har jeg rekken:

[tex]\sum_{n=1}^{infty}\frac{nln2}{n^2} = \sum_{n=1}^{infty}\frac{ln2}n[/tex]

Er det jeg har gjort rett?
Og hvordan viser jeg om denne rekken konvergerer eller ikke?

[Vektormannen]

Ideen din er god den, men det er feil å si at [tex]\ln(2^n + 1) = \ln(2^n)[/tex]. Det stemmer ikke! Jeg mistenker at du kanskje har tenkt at [tex]\ln(a+b) = \ln a + \ln b[/tex], men noen slik regel har vi ikke for logaritmer.

Det du derimot kan si er at [tex]\ln(2^n + 1) > \ln(2^n) = n \ln 2[/tex]. Hvis du ser på rekken du kom frem til nederst, merk deg at du kan sette [tex]\ln 2[/tex] utenfor -- det er jo bare en konstant i hvert ledd. Hva kan du da si om den resterende rekken? Det er en rekke du bør kjenne til! Hva kan du så si om den opprinnelige rekken basert på det du har funnet ut om denne rekken?

[Nebuchadnezzar]

Par tips først bruk \infty for uendelig, og sett \ foran uttrykk som ln, log, sin, cos ,osv. da ser ting penere ut.

Anbefaler deg å lese litt mer i boken om rekker, eventuelt se noen videoer fra PatrickMT på youtube, eller les litt fra PaulsMathNotes. Antar du klarer å google frem disse tingene selv.

Dog kan jeg gi deg en kort forklaring. De omformingene du gjør, bør du helst gjøre for å vise om rekken divergerer eller konvergerer. Altså du gjør ikke slike "omskrivninger" uten en mening bak dem.

For eksempel så kan du sammenlikne rekken
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n - 1}[/tex] med den harmoniske rekken [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/tex], hvorfor? Jo fordi den første rekken er større enn den andre. Siden teller er mindre, blir brøken større.
Så [tex]\frac{1}{n - 1} > \frac{1}{n}[/tex] når [tex]n>0[/tex], slik at [tex]1/(n-1)[/tex] divergerer.

På samme måte så kan du skrive at

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(2^n + 1)}{n^2} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\log(2)}{n^2} = \log 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/tex]

Siden [tex]1/n[/tex] divergerer, så divergerer også rekken din.

EDIT: Så ikke innlegget til Vektormannen, og du. Gikk glipp av lanseringen av lurs avis i dag du. Gratis kaffe, kaker og boller!