Derivasjon og trigonometriske identiter

[nikolaih]

Hei,

Jeg ser litt på oppgave 1 kont 2014 grunnkurs analyse men sliter veldig med å finne og forstå de "lure" stegene. Håper noen kan lede meg i riktig retning. Oppgaven er som følger.

Vi har en funksjon [tex]f(x) = e^xsinx, x>0[/tex].

Vis at den deriverte er [tex]f'(x) = \sqrt{2}e^xsin(x+\frac{\pi}{4})[/tex].

Jeg har brukt de generelle derivasjonsreglene for y = u * v, og snust litt på trigonometriske identiteter, men jeg finner ikke helt the missing link.

Så langt har jeg kommet frem til [tex]= e^x (2sin(x)+1)[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Ser ut som du har derivert feil. Du burde ha fått følgende

$
f'(x)
= e^x\bigl (\sin x + \cos(x) \bigr)
= \sqrt{2} e^x\bigl ( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(x) \bigr)
$

Tanken er vel at du skal bruke $\cos A \sin B + \sin A \cos B = \sin(A + B)$. Herfra
må du tenke ganske hardt om det finnes en $A$ slik at $\cos A = 1/\sqrt{2}$.

[Vektormannen]

Her er det ikke noe i veien for å gå motsatt vei heller, altså å bruke regelen for $\sin(a+b)$ på $\sqrt 2 \sin(x + \pi/4)$ og vise at det blir $e^x(\sin x + \cos x)$.

[Nebuchadnezzar]

Føler alltid det er juks å ta utgangspunkt i det en skal vise. Men du har selvsagt helt rett Vektormmannen

[Vektormannen]

Jeg skjønner at du syns det er litt stygt . Men man tar jo ikke utgangspunkt i det man skal vise; man tar uttrykket på høyre side og viser at det er lik uttrykket på venstre side. Det man skal vise er likheten, og det er den man ender opp med, ikke den man tar utgangspunkt i. Da er det ikke gjort noe logisk feil. Det som ville vært litt uggent hadde vært å ta utgangspunkt i at likheten stemmer, og så vist at det medfører en eller annen åpenbar ting (f.eks. at man ender opp med 1 = 1).

[Aleks855]

Den har jeg som regel problemer med å skjønne. Ideen om at det er "feil" å ta utgangspunkt i det man skal vise, og vise at påstanden tilsvarer noe åpenbart som 1=1. At man heller skal starte med 1=1 og gå trinnvis til det man prøver å vise. Selvsagt gir det hakket mer mening, men det ville sett latterlig ut på papiret.

[Nebuchadnezzar]

Je tenker mer at dette er en svært kunstig setting å få "svaret" på forhånd. I denne oppgaven deriverer
en funksjonen og ender opp med venstresiden. Det er da logisk? Å vise likheten fra venstre til høyre og ikke motsatt. Altså fra det kjente til det ukjente.
Hadde oppgaven vært skriv om dette uttrykket til $A\sin(x+b)$ ville en ikke lengre bare kunne ha skrevet om venstresiden.

Ett motargument til denne måten å føre bevis på er jo for eksempel induksjon, eller gjetting.
Altså at en gjetter på et svar, eller ett uttrykk også viser man at ja, jo gjettingen stemte. Men når en ikke utfører denne prøvingen
denne tippingen selv, føler jeg det blir feil å ta utgangspunkt i svaret. Men ja, jeg vet det er mange som er uenige der

[Vektormannen]

Den har jeg som regel problemer med å skjønne. Ideen om at det er "feil" å ta utgangspunkt i det man skal vise, og vise at påstanden tilsvarer noe åpenbart som 1=1. At man heller skal starte med 1=1 og gå trinnvis til det man prøver å vise. Selvsagt gir det hakket mer mening, men det ville sett latterlig ut på papiret.

Det er ingenting logisk galt med å starte med det man skal vise, så lenge det er ekvivalens helt fra start til den siste åpenbare påstanden (ligningen, ulikheten, ...). Men hvis implikasjonen bare går "nedover" så sier ikke f.eks. 1 = 1 noe som helst om sannheten til den opprinnelige ligningen, og det er den fellen man kan gå i om man benytter denne formen for bevisføring. Å starte med 1 = 1 ser også dumt ut, som du sier. Strengt tatt er denne måten å føre bevis på - å ha en ligning og manipulere begge sider steg for steg - mest av alt en vanesak. Det er mye ryddigere å starte med én av sidene i ligningen, og føre beviset som en kjede av likheter til man ender med det andre uttrykket.

[nikolaih]

Ser ut som du har derivert feil. Du burde ha fått følgende

$
f'(x)
= e^x\bigl (\sin x + \cos(x) \bigr)
= \sqrt{2} e^x\bigl ( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(x) \bigr)
$

Tanken er vel at du skal bruke $\cos A \sin B + \sin A \cos B = \sin(A + B)$. Herfra
må du tenke ganske hardt om det finnes en $A$ slik at $\cos A = 1/\sqrt{2}$.

Så det som skjer er at man man ganger med kvadratroten av to utenfor, og tar 1 dele på kvadratroten av to inni for hvert ledd, og fortsatt har det samme som før?

Hvordan skal man vite at dette er lov, det er sånne lure veier de tar som man ikke lærer om i boka eller på videregående >.>

Jeg forstår heller ikke hvordan man skal bruke identiteten: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

[Nebuchadnezzar]

Tja å se slike ting tar litt tid. Ingen ser det første gangen, og det vil bare være ett triks. Men bruker
du trikset selv mange nok ganger blir det ikke lengre ett triks men en nyttig teknikk.

Først må du finne $A$ og $B$ slik at $\cos A = 1/\sqrt{2}$ og $\sin B = 1/\sqrt{2}$. Klarer du det?

[nikolaih]

Tja å se slike ting tar litt tid. Ingen ser det første gangen, og det vil bare være ett triks. Men bruker
du trikset selv mange nok ganger blir det ikke lengre ett triks men en nyttig teknikk.

Først må du finne $A$ og $B$ slik at $\cos A = 1/\sqrt{2}$ og $\sin B = 1/\sqrt{2}$. Klarer du det?

Nei

En skulle tro det var pi/4, gitt av løsningen, men det gir meg roten av 2 over 2.

[Vektormannen]

$\frac{\sqrt 2}{2} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \frac{1}{\sqrt 2}$.

[nikolaih]

$\frac{\sqrt 2}{2} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \frac{1}{\sqrt 2}$.

Ahh selvfølgelig! Da fulgte løsningen ganske greit når jeg gikk fra svar til spørsmål Hvordan man skal kunne klare den "riktig" vei uten å vite svaret fra før er dog fremdeles uvisst for meg..

[Nebuchadnezzar]

Ut i fra det du skriver får en da

$
f'(x)
= \sqrt{2} e^x\bigl ( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \bigr)
= \sqrt{2} e^x \bigl ( \cos \frac \pi4 \cdot \sin x + \sin \frac \pi4 \cdot \cos x \bigr)
$

Tanken er vel at du skal bruke $\cos A \sin B + \sin A \cos B = \sin(A + B)$, hva er da $A$ og $B$?