Jeg har en tredjegradslikning : g(x)=(-0.2x^3)+(1.5x^2)-2x-1
Jeg ønsker å finne 0 punktene til grafen, altså løse den for intervallet [-3,6].
Jeg trenger litt hjelp til å få dette til å rulle.
http://www.ping.be/~ping1339/cubic.htm brukte dette som utgangspunkt, men det låste seg relativt raskt.
Løse tredjegradslikning uten kalkulatorfunksjonen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Kan hjelpe deg et stykke på vei i hvertfall
f(x) = [Ax^3 + Bx^2 - Cx - D] = -0.2x^3 + 1.5x^2 -2x -1 = 0
Deretter deler vi alle ledd med A
[x^3 - bx^2 +cx +d] = x^3 - 7.5x^2 +10x +5 = 0
Så substituerer vi:
x = y - b/3 = y + 7.5/3 = y + 2.5
Så setter vi dette inn i likningen -0.2x^3 + 1.5x^2 -2x -1
som gir oss: 0.25 + 1.75y - 0.2 y^3 og får: [-0.2^y3 + 1.75y + 0.25] = [y^3 - ey - f]
Så bruker vi vieta-substitusjon:
z^6 + fz^3 - e/27 = z^6 + 0.25z^3 + 1.75^3/27
z^3 = u
u^2 + 0.25u + 1.75^3/27
u_1 = -0.125 + 0.4276334533i
u_2 = -0.125 - 0.4276334533i
Så må du få dette over på polar form osv..
Deretter må du benytte deg av at y = z - 0.58333333/z og sette inn dette i x = y + 2.5
f(x) = [Ax^3 + Bx^2 - Cx - D] = -0.2x^3 + 1.5x^2 -2x -1 = 0
Deretter deler vi alle ledd med A
[x^3 - bx^2 +cx +d] = x^3 - 7.5x^2 +10x +5 = 0
Så substituerer vi:
x = y - b/3 = y + 7.5/3 = y + 2.5
Så setter vi dette inn i likningen -0.2x^3 + 1.5x^2 -2x -1
som gir oss: 0.25 + 1.75y - 0.2 y^3 og får: [-0.2^y3 + 1.75y + 0.25] = [y^3 - ey - f]
Så bruker vi vieta-substitusjon:
z^6 + fz^3 - e/27 = z^6 + 0.25z^3 + 1.75^3/27
z^3 = u
u^2 + 0.25u + 1.75^3/27
u_1 = -0.125 + 0.4276334533i
u_2 = -0.125 - 0.4276334533i
Så må du få dette over på polar form osv..
Deretter må du benytte deg av at y = z - 0.58333333/z og sette inn dette i x = y + 2.5
Sist redigert av Magnus den 09/01-2006 00:49, redigert 2 ganger totalt.
u_1 = -0.125 + 0.4276334533i
u_2 = -0.125 - 0.4276334533i
Så skal vi få dette over på polarform
Da vet vi at thetta blir tan^-1 (0.4276334533/-0.125) = -1.286412731
og vi vet at r = [rot][/rot]/-0.125^2 + 0.4276334533^2) = 0.408956
på polar form:
u = r*(cos[thetta] + i*sin[thetta])
u_1 = 0.408956*(Cos[-1.286412731] + i*sin[-1.286412731])
u_2 = 0.408956*(Cos[-1.286412731] - i*sin[-1.286412731])
Så vet vi at u = z^3 , og tar derfor tredjerot for å finne z, og dette gir oss tre løsniger på hver, men ettersom løsningene vil bli like lenge nedi her, velger jeg å bare bruke den ene...
3[rot][/rot]0.0241687*(Cos[1.01387] + i*sin[1.01387])
z_1 = 0.7422647927*(Cos[(-1.286412731)/3)] + i*sin[(-1.286412731)/3])
z_2 = 0.7422647927*(Cos[(-1.286412731+2*pi)/3] + i*sin[(-1.286412731+2*pi)/3])
z_3 = 0.7422647927*(Cos[(-1.286412731-2*pi)/3] + i*sin[(-1.286412731-2*pi)/3])
Deretter må du benytte deg av at y = z - 0.58333333/z og sette inn dette i x = y + 2.5
oK! jeg vet noe er feil hher, men det må jeg nesten ta med penn og papir i morgen, god natt
u_2 = -0.125 - 0.4276334533i
Så skal vi få dette over på polarform
Da vet vi at thetta blir tan^-1 (0.4276334533/-0.125) = -1.286412731
og vi vet at r = [rot][/rot]/-0.125^2 + 0.4276334533^2) = 0.408956
på polar form:
u = r*(cos[thetta] + i*sin[thetta])
u_1 = 0.408956*(Cos[-1.286412731] + i*sin[-1.286412731])
u_2 = 0.408956*(Cos[-1.286412731] - i*sin[-1.286412731])
Så vet vi at u = z^3 , og tar derfor tredjerot for å finne z, og dette gir oss tre løsniger på hver, men ettersom løsningene vil bli like lenge nedi her, velger jeg å bare bruke den ene...
3[rot][/rot]0.0241687*(Cos[1.01387] + i*sin[1.01387])
z_1 = 0.7422647927*(Cos[(-1.286412731)/3)] + i*sin[(-1.286412731)/3])
z_2 = 0.7422647927*(Cos[(-1.286412731+2*pi)/3] + i*sin[(-1.286412731+2*pi)/3])
z_3 = 0.7422647927*(Cos[(-1.286412731-2*pi)/3] + i*sin[(-1.286412731-2*pi)/3])
Deretter må du benytte deg av at y = z - 0.58333333/z og sette inn dette i x = y + 2.5
oK! jeg vet noe er feil hher, men det må jeg nesten ta med penn og papir i morgen, god natt
Er du sikker? Kan du forklare hvorfor? u_1 og u_2 har begge negativ realdel og må ligge i 2. og 3. kvadrant. Din vinkel er mindre enn [pi][/pi]/2 og punktet må ligge i 1. eller 4. kvadrant. arctanfunksjonen angir ikke om et punkt ligger i 1./4. kvadrant eller 3./2. kvadrant siden disse tan-verdiene er like. cos til et punkt i 1./4. kvadrant er positivt, mens cos til et punkt i 2./3. kvadrant er negativt. Valg av kvadrant er derfor ikke likegyldig og faller ikke direkte ut av arctanfunksjonen. I en del eldre lærebøker blir faktisk ikke arctan brukt i denne sammenhengen pga nettopp dette. Man bruker i stedet sin- og cos-sammenhenger.Polarformene er riktige, så er ikke der feilen er tror jeg..
Etter du har foretatt substitusjonen x = y - b/3 ser det ut som du har glemt at du delte på -0,2 i begynnelsen. Koeffisienten foran x^3 , y^3 , z^6 , u^2 skal vel være 1?
-
Dr. Karlsen
- Pytagoras
- Innlegg: 6
- Registrert: 04/10-2004 14:44
- Sted: Stavanger
- Kontakt:
På z_2 og z_3 er bare Im(z_2) og Im(z_3) riktige. Den reelle delen har både feil tallverdi og feil fortegn. z_1 er riktig.
Det er mye mulig, men når jeg prøver med z_1 så får jeg galt svar da også.. Alle løsningene til denne oppgaven skal være reelle.Dr. Karlsen skrev:På z_2 og z_3 er bare Im(z_2) og Im(z_3) riktige. Den reelle delen har både feil tallverdi og feil fortegn. z_1 er riktig.
Da har jeg endelig fått regnet gjennom oppgaven.
Som jeg skrev tidligere har Candela brukt feil [thetta]-verdi. Forklaringen på dette har jeg også gitt i et tidligere innlegg. Den riktige verdien finnes enkelt ved å benytte arccos eller arcsin i stedet for arctan.
Som jeg også nevnte i et tidligere innlegg glemte Candela at man deler på -0,2 i begynnelsen og glemmer den faktoren senere i oppgaven. Det medfører at annengradsligningen blir feil og man får feil verdier for u.
Når man setter inn og finner y-verdiene er det en viss risiko for at man får med en svært liten imaginær del. Dette oppstår hvis man ikke har regnet nøyaktig. Den imaginære delen kan ses bort ifra.
Bortsett fra de feilene jeg nevnte er fremgangsmåten i løsningsforslaget riktig. Jeg kan skrive inn deler av mitt eget løsningsforslag hvis det skulle være ønskelig.
Som jeg skrev tidligere har Candela brukt feil [thetta]-verdi. Forklaringen på dette har jeg også gitt i et tidligere innlegg. Den riktige verdien finnes enkelt ved å benytte arccos eller arcsin i stedet for arctan.
Som jeg også nevnte i et tidligere innlegg glemte Candela at man deler på -0,2 i begynnelsen og glemmer den faktoren senere i oppgaven. Det medfører at annengradsligningen blir feil og man får feil verdier for u.
Når man setter inn og finner y-verdiene er det en viss risiko for at man får med en svært liten imaginær del. Dette oppstår hvis man ikke har regnet nøyaktig. Den imaginære delen kan ses bort ifra.
Bortsett fra de feilene jeg nevnte er fremgangsmåten i løsningsforslaget riktig. Jeg kan skrive inn deler av mitt eget løsningsforslag hvis det skulle være ønskelig.
