Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Rakk ikke å spørre om denne oppgaven på øvinga i dag, så da må jeg dessverre be noen om hjelp til denne litt lange oppgaven, som jeg ikke skjønner i det hele tatt.
Bruk følgende teorem: "If W is a set of one or more vectors from a vector space V, the W is a subspace of V if and only if the following conditions hold.
a) If u and v are vectors in W, the u+v is in W
b) If k is any scalar and u is any vector in W, then k*u is in w"
- til å avgjøre hvilke av de følgende er underrom av M[sub]nn[/sub].
1) alle nxn matriser A slik at tr(A) = 0 2) alle nxn matriser A slik at A[sup]T[/sup] = -A 3) alle nxn matriser A slik at det lineære systemet Ax = 0 har bare triviell løsning 4) alle nxn matriser A slik at AB = BA for en fikset nxn matrise B.
1) Her skal du altså avgjøre om mengden bestående av alle nxn matriser A slik at tr(A)=0 utgjør et vektorrom. Teoremet gir at du må undersøke to ting:
a) Hvis A og B er to nxn matriser slik at tr(A)=0 og tr(B)=0, så må også tr(A+B)=0. Dette følger av at tr(A+B)=tr(A)+tr(B).
b)Hvis k er en skalar og tr(A)=0, så må også tr(k*A)=0.
Dette følger av at tr(k*A)=k*tr(A) (Husk at trasen er summen av diagonalleddene).
Det betyr altså at dette blir et vektorrom.
Tilsvarende går du frem med oppgave 2) til 4). Kanskje du kan prøve å løse dem sjøl? Hvis det da dukekr opp flere spørsmål, er det bare å spørre igjen.
Glemte å si at du må selvfølgelig også sjekke at for k skalar, A og B nxn matriser, så er A+B nxn matrise og k*A nxn matrise. Dette er ganske banalt :-) (dette gjelder for alle oppgaver 1)-4))
Oppgave 2)
a) La A og B være nxn matriser slik at A^T=-A (klarer ikke å skrive T oppe, men dette betyr altså A transponert) og B^T=-B. Vi må nå sjekke om
(A+B)^T=-(A+B)
Men (A+B)^T=A^T+B^T=-A-B=-(A+B)
b) La k være skalar og A nxn matrise, s.a A^T=-A
Vi må sjekke om (k*A)^T=-k*A
Dette følger av at (k*A)^T=k*(A^T)=k*(-A)=-k*A
Derfor er dette et undervektorrom.
Oppgave 3)
Dette er ikke et undervektorrom (her holder det altså å gi et eksempel hvor a) eller b) ikke holder):
La A=I, nxn enhetsmatrisen (altså matrisen med bare enere på hoveddiagonalen og 0 ellers), da gjelder det at Ix=0 har bare triviell løsning. La så B=-I, da gjelder det at -Ix=0 har bare triviell løsning.
Men A+B=0 (0-matrisen), og 0x=0 har uendelig mange løsninger (altså ikke bare triviell løsning. Derfor er A+B ikke med i denne mengden.
Eller du kan også si at 0 er ikke med i denne mengden (siden 0x=0 har ikke bare triviell løsning), så denne mengden kan ikke være et vektorrom ved b) (ta k=0)
Oppgave 4)
a)La A og C være nxn matriser slik at AB=BA og CB=BC for en fiksert nxn matrise B.
Her må vi undersøke om (A+C)B=B(A+C):
(A+C)B=AB+CB=BA+BC=B(A+C) (distributivitetsloven)
b) La k være en skalar og A en nxn matrise slik at AB=BA for en fiksert nxn matrise B.
Vi må undersøke om (k*A)B=B(k*A):
(k*A)B=k*(AB)=k*(BA)=B(k*A)
Dette var virkelig fint og oversiktlig, takk skal du ha.
Lurer bare på om du kan ta og vise Oppgave 3) på en måte hvor du utfører addisjon og multiplikasjon og ser at det ikke stemmer..
Vet ikke helt hva jeg skal forklare mer her, men prøver å skrive det litt mer utførlig:
Vi skal altså undersøke om for alle nxn matriser A og B slik at Ax=0 har bare triviell løsning og Bx=0 har bare triviell løsning (dette er for øvrig ekvivalent med at A og B er invertible), (A+B)x=0 har bare triviell løsning.
Jeg gir nå et eksempel hvor Ax=0 har bare triviell løsning og Bx=0 har bare triviell løsning, men (A+B)x=0 har mer løsninger enn bare den trivielle.
(Merk at det er nok å gi et moteksempel)
La A=I (nxn enhetsmatrisen) og B=-I.
Da har Ix=0 bare den trivielle løsningen x=0 (siden Ix=x) og -Ix=0 har bare den trivielle løsningen x=0 (siden -Ix=-x). (Du kan også argumentere at I og -I er begge to invertible).
Nå ser du på likningen (A+B)x=0.
Siden A+B=I-I=0, er denne 0x=0, og denne likningen har uendelig mange løsninger, altså mer enn bare den trivielle. (0matrisen er ikke invertibel)
Derfor er A+B ikke med i denne mengden.
Som sagt, dette holder for å løse oppgaven.
Alternativt kan du finne et moteksempel til b):
La k=0 og A=I (altså Ax=0 har bare den trivielle løsningen)
Så ser vi på k*A=0*I=0 og ser som før at (k*A)x=0 har mer enn bare den trivielle løsningen.
