utregning med fakultet i rekker

[Shira]

sliter med flere rekkeoppgaver hvor man skal bruke forholdstesten. feks

[symbol:sum] (10^n / n! )

Jeg klarer fint å komme hit:

lim ( 10^(n+1) x n! ) / ( 10^n x (n+1)! )
n-> [symbol:uendelig]

men hvordan kommer jeg herfra til 10 / n

Jeg vet at n! = 1x2x3x4x..x n men jeg etter lyser regneregler for disse når jeg skal forkorte og sånn. Mulig dette er helt banalt men jeg klarer ikke se det, har letet i boka men den tar ikke med noe mere mellomregning, sikkert fordi jeg skal kunne det fra før eller no hrmf..
Veldig takknemlig for svar.

[mathvrak]

Ingenting er banalt her inne, så lenge en ikke lister opp en oblig og sier "løs denne!" hehe.

ok ta et eksempel: 4!

4! = 1*2*3*4

men dette er jo også

= (1 * 2 * 3) * 4
= 3! * 4

Prøver vi et hvilket som helst fakultet kan vi skrive det om.

derfor gjelder det at hvis

n! = 1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n

så vil

n! = (n-1)! * n

(tommelregeln er at du kan ta fakultetet til alle faktorene under n og gange inn den siste n. Eventuelt du kan ta alle faktorene til og med n-2 og få:

n! = (n-2)! * (n-1) * n (vi legger altså på de to siste faktorer som mangler)

så tilbake til forholdstesten. Jeg skal ikke regne den for deg for det virker som klarer det fint. I dette eksempelet får du

n! / (n+1)!

vi kan skrive om nevner slik at vi kan få strøket bort n! i teller og nevner:

n! / n! (n+1)

Stryker du nå får du

1 / (n+1)

[Shira]

Tusen takk, men er det slik at 1 / n+1 er det samme som 1 / n ? bare at det ikke er vanlig å skrive + 1 eller no, syns det merkelig at den plutselig bare forsvinner...

jeg har et mye verre stykke som ser slik ut når jeg skal forkorte:

(n+1)! x (2n-1)!
------------------
n! x (2n+1)!

Da får jeg:

n!(n+1) x 2n!(2n-1)
-------------------------
n! x 2n!(2n+1)


som liksom skal bli:

n
--------------
(2n)(2n+1)

men det skjønner jeg ikke hvordan går til?

[euklid]

Hei Shira.

[tex]\frac{(n+1)!(2n-1)!}{n!(2n+1)!}[/tex]

= [tex]\frac{n!(n+1)(2n-1)!}{n!(2n+1)!}[/tex]

= [tex]\frac{(n+1)(2n-1)!}{(2n+1)!}[/tex]

= [tex]\frac{(n+1)(2n-1)!}{(2n-1)!(2n)(2n+1)}[/tex]

= [tex]\frac{n+1}{(2n)(2n+1)}[/tex].

[Shira]

javel, her dukket det plutselig opp (2n-1)! i nevner??? slik at du kan stryke de mot hverandre. Why??

og fortsatt kommer man fram til et svar som det står n+1 og ikke bare n, i teller tilslutt. Skulle så gjerne hatt svar på dette?...

[euklid]

Det er lett å se hvorfor det dukker opp:
[tex](2n+1)! =(2n-1)!(2n)(2n+1)[/tex].

Jeg vil påstå at [tex]n+1[/tex] i telleren er korrekt.
Av og til må man stole mer på seg selv enn fasiten.

[Shira]

Ja nettopp, det der skjønner jeg ikke. Jeg trodde at
(2n+1)! = 2n(2n+1)


I mitt hodet er det en hemmlig regel eller noe *sukk*

[mathvrak]

Lett å se at (2n+1)! =(2n-1)!(2n)(2n+1) er sant

"et fakultet x! kan vi skrive som et lavere fakultet (f.eks (x-2)! og gange inn de faktorene som mangler ( (x-1) og x ) for å komme tilbake til x!"

ta et eksempel.

[tex]n=10:[/tex]

[tex](2n+1)! =(2n-1)!(2n)(2n+1)[/tex]

[tex](20+1)! =(20-1)!\cdot 20\cdot (20+1)[/tex]

[tex]21! =19!\cdot 20\cdot 21[/tex]

---

[tex]n=2:[/tex]

[tex](2n+1)! =(2n-1)!(2n)(2n+1)[/tex]

[tex](4+1)! =(4-1)!\cdot 4\cdot (4+1)[/tex]

[tex]5! =3!\cdot 4\cdot 5[/tex]

[Shira]

åjaa aldri skjønt den reglen helt. Tusen takk!!!

[mathvrak]

Bra det da
Jeg er forøvrig enig med Euklid angående utregningen.