Hei, håper noen kan hjelpe meg med dette:
Bruk induksjon til å vise at denne ulikheten gjelder for alle naturlige tall [tex]n[/tex]:
[tex]1+2+3+...+n>\frac{1}{2}n^2[/tex]
_____________________________________________________________
Det jeg har tenkt så langt:
Trinn 1:
Beviser at formelen er riktig for [tex]n=1[/tex].
VS: [tex]1[/tex] og HS: [tex]\frac{1}{2}\cdot{1^2}=\frac{1}{2}[/tex]
Da får vi at [tex]VS>HS[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]1>\frac{1}{2}[/tex]
Formelen er riktig for n=1.
Trinn 2:
Vi går ut fra at formelen er riktig for [tex]n[/tex]. Vi skal bevise at formelen er også riktig for [tex]n+1[/tex]. Og da må vi bevise følgende ulikhet:
[tex]1+2+3+...n+(n+1)>\frac{1}{2}(n+1)^2[/tex]
Og nå stopper det opp for meg. Jeg skjønner vel at antakelsen våres betyr at [tex]1+2+3+...+n>\frac{1}{2}n^2[/tex]. Men jeg skjønner ikke hvordan ut fra det skal jeg fullføre beviset.
PS: Det er egentlig litt rart at hodet mitt vil ikke forstå dette her. Alle oppgavene med likhetstegn gikk veldig smooth, men med en gang jeg fikk en ulikhetstegn så stoppet det opp.
Matematisk induksjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Akkurat slik som du gjør når du beviser likheter med induksjon (og egentlig alltid), må du her bruke antagelsen. Det du kan si om tallet [tex]1+2+3+...+n+(n+1)[/tex] er at det er større enn tallet [tex]\frac{1}{2}n^2 + (n+1)[/tex], ikke sant? Da er du faktisk veldig nærme mål. Du ønsker å vise at det er større enn [tex]\frac{1}{2}(n+1)^2[/tex]. Hvis du ganger ut det uttrykket, hva får du da?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Og det kjem ut fra antagelsen, ikke sant?Vektormannen skrev:Det du kan si om tallet [tex]1+2+3+...+n+(n+1)[/tex] er at det er større enn tallet [tex]\frac{1}{2}n^2 + (n+1)[/tex], ikke sant?
Vi hadde:
[tex]1+2+3+...+n>\frac{1}{2}n^2[/tex]
Også plusser vi på begge sider med samme tall, (n+1), og da forandrer ulikheten seg ikke. Er det slik du tenker?
[tex]1+2+3+...+n+(n+1)>\frac{1}{2}n^2+(n+1)[/tex]
Og da har vi vist, slik som du sier, at tallet [tex]1+2+3+...+n+(n+1)[/tex] er alltid større enn [tex]\frac{1}{2}n^2+(n+1)[/tex].
____________
[tex]\frac{1}{2}(n+1)^2=\frac{1}{2}n^2+n+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}n^2+(n+1)[/tex]
Det betyr at vi har vist at ulikheten [tex]1+2+3+...n+(n+1)>\frac{1}{2}(n+1)^2[/tex] er riktig. Da er vi egentlig ferdige, ikke sant?
Men kan du vise meg hvordan det skal føres inn på en riktig måte, med tenke på prøve/eksamen. Læreren min er utrolig streng når det kommer til innføring og framgangsmåten. Må jeg innføre VS(venstre side) og HS slik som jeg hadde gjort i Trinn 1, eller holder det slik som jeg gjorde?
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Det du har gjort er helt riktig.
Er slik jeg ville gjort det også.
Angående føring så syns jeg du har gjort det på en ok måte. Læreren bør ikke gi trekk for det i alle fall. Det er kanskje best om du spør ham selv, for å være sikker.
Jeg ville kanskje hatt med en oppsummering til slutt:
[tex]1+2+...+n+(n+1) > \frac{1}{2}n^2 + (n+1) > \frac{1}{2}n^2 + n + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(n+1)^2[/tex]
Da kommer det tydelig frem hvorfor de to ulikhetene (antagelsen og det at [tex]\frac{1}{2}(n+1)^2 < \frac{1}{2}n^2 + (n+1)[/tex]) impliserer den ulikheten vi vil frem til.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Angående føring så syns jeg du har gjort det på en ok måte. Læreren bør ikke gi trekk for det i alle fall. Det er kanskje best om du spør ham selv, for å være sikker.
Jeg ville kanskje hatt med en oppsummering til slutt:
[tex]1+2+...+n+(n+1) > \frac{1}{2}n^2 + (n+1) > \frac{1}{2}n^2 + n + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(n+1)^2[/tex]
Da kommer det tydelig frem hvorfor de to ulikhetene (antagelsen og det at [tex]\frac{1}{2}(n+1)^2 < \frac{1}{2}n^2 + (n+1)[/tex]) impliserer den ulikheten vi vil frem til.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Hei, jeg har en til.
Vi har gitt funksjonen:
[tex]f(x)=x\cdot{e^x}[/tex]
a) Bestem [tex]f\prime{x}[/tex] og [tex]f\prime{\prime{x}}[/tex].
[tex]f\prime{x}=e^x(1+x)[/tex]
[tex]f\prime{\prime{x}}=e^x(2+x)[/tex]
b) Det blir påstått at den n-te deriverte er gitt ved
[tex]f^{(n)}(x)=(x+n)\cdot{e^x}[/tex]
Bevis formelen for den n-te deriverte ved induksjon.
Jeg har vist at formelen stemmer for n=1. Videre skal jeg vise at den stemmer for n+1. Altså jeg skal vise at:
[tex]f^{(n+1)}(x)=(x+n+1)\cdot{e^x}[/tex]
Hvordan går jeg fram?
Vi har gitt funksjonen:
[tex]f(x)=x\cdot{e^x}[/tex]
a) Bestem [tex]f\prime{x}[/tex] og [tex]f\prime{\prime{x}}[/tex].
[tex]f\prime{x}=e^x(1+x)[/tex]
[tex]f\prime{\prime{x}}=e^x(2+x)[/tex]
b) Det blir påstått at den n-te deriverte er gitt ved
[tex]f^{(n)}(x)=(x+n)\cdot{e^x}[/tex]
Bevis formelen for den n-te deriverte ved induksjon.
Jeg har vist at formelen stemmer for n=1. Videre skal jeg vise at den stemmer for n+1. Altså jeg skal vise at:
[tex]f^{(n+1)}(x)=(x+n+1)\cdot{e^x}[/tex]
Hvordan går jeg fram?
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Samme fremgangsmåte som før, anta at
formelen stemmer for en vilkårlig n, slik at den stemmer for n = k.
[tex]f^{k}(x) = (x + k)\cdot e^x[/tex]
og deriver begge sider.
formelen stemmer for en vilkårlig n, slik at den stemmer for n = k.
[tex]f^{k}(x) = (x + k)\cdot e^x[/tex]
og deriver begge sider.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Ja, er ikke det logisk?
at [tex]\left[f^\prime(x)\right]^\prime = f^{\prime\prime}(x)[/tex]
at [tex]\left[f^\prime(x)\right]^\prime = f^{\prime\prime}(x)[/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk