integral En moped beveger seg med konstant fart 4 meter per sekund. Grafisk kan det se slik ut:
Den røde linjen representerer grafen til funksjonen
f(t) = 4. Vi er interessert i å se på arealet under grafen. Hva forteller det oss?
Mopeden kjører med konstant hastighet 4m/s i 7 sekunder. I den perioden tilbakelegger den en strekning S på S =vt = 4m/s·7s = 28m.
Dersom vi teller antall ruter under grafen, eller regner ut arealet av rektangelet får vi også 28.
Arealet under grafen til funksjonen som utrykker hastighet som funksjon av tiden gir oss altså tilbakelagt strekning i samme tidsrom.
Legg merke til følgende:
Når vi skal tolke arealet under en graf er enheten for svaret alltid lik enheten på x- aksen multiplisert med enheten på y-aksen.
I eksemplet over gir det s·m/s = m.
En annen moped kjørerer med hastigheten 6 meter per sekund og begynner så å bremse opp. Det kan se slik ut:
Mopeden bremser med en jevn akslerasjon (negativ) fra 6m/s til 1 m/s. Funksjonen som beskriver situasjonen ser slik ut:
g(t) = 6 - t
I dette eksemplet ser vi at arealet under grafen er 17,5 og at benevningen er m (meter), hvilket betyr at mopeden beveger seg 17,5 under oppbremsingen.
For å finne arealet under krumme kurver kan vi dele området opp i rektangler som vist under
Vi observerer følgende:
Summen Sn av rektanglene under grafen blir:
Sn = f(x1)·Δx + f(x2)·Δx+..+f(xn)·Δx (kalles Riemannsum)
Det bestemte integralet til f er:
Der f(x) er integranden, a er nedre integrasjonsgrense, b er øvre integrasjonsgrense.
Dersom det finnes en deriverbar funksjon F(x) er
F'(x) = f(x) + C
Der C er en konstant. Vi sier at F(x) er en antiderivert av f(x). Det finnes uendelig mange antideriverte til f(x) siden den deriverte av en konstant er null. Vi kaller den antideriverte for den integrerte og har:
Det bestemte integralet blir da:
Der a og b er integrasjonsgrensene.
Du lurer kanskje på hva som skjedde med C? Dersom vi ser på høyre side av likhetstegnet ser vi at
F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a)
Altså forsvinner C.
La oss se på ekseplene i begynnelsen:
f(t) = 4 gir:
g(t) = 6 -t gir:
Så langt har vi sett på arealer avgrenset av x-aksen, a, b og en graf som ligger over x-aksen. Hva når grafen til funksjonen ligger under x-aksen?
La oss finne det bestemte integralet avgrenset av x = -2, x = -1, x-aksen og funksjonen f(x)=1/x
Et eksempel til:
Fra disse eksemplene ser vi at integralet og arealet IKKE er det samme, selv om vi kan tolke integralet geometrisk.
Vi har følgende sammenhenger:
Noen ganger kan det være vanskelig eller umulig å finne et utrykk for den antideriverte. Da kan man ta utgangspunkt i Riemannsummen og løse problemet numerisk. Eller man kan gjøre som en professor jeg kjente. Han brukte saks, papir og en nøyaktig vekt. Ved å klippe ut arealet under grafen å sammenligne det med et kjent areal, ved veiing, kom han fram til tilnærminger gode nok for de fleste ingeniørformål.
|