komplekse tall

Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. i² er størrelsen som tilfredstiller i²= -1.

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av iⁿ kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er i³ = i² · i = -1 · i = - i

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere Z₁ = 1 + 2i og Z₂ = 2 + 2i blir resultatet Z₃ = 3 + 4i

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Lengden av linjestykket OZ_n kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved |Z_n| = sqrt(a² + b²). (sqrt = engelsk forkortelse for kvadratrot). |Z_n| kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet Z_n

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden OZ_n og vinkelen mellom X aksen og linjestykket OZ_n.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

Multiplikasjon utføres på vanlig måte: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i

Divisjon. Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren: