Vis RSS feed
HJEM    Søk    Logg Inn               
Per Hovedsiden :: Søk i Per :: Alfabetisk Liste :: Topp 20 :: Per Hjelp 
Logo: Databasen Per

Emnet ble sist oppdatert 2009-01-16 18:08:25

Relaterte oppslag:

hyperbel
kjeglesnitt
sirkel

Kommentarer?

cosinus@matematikk.net

Per Oppslag

parabel

Parabelen tilhører familien av kurver som vi kaller for kjeglesnitt. Vi kan tenke oss at vi snitter en kjegle på følgende måte:

Snittflatens kant har form som en parabel.

En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:

f(x) = ax2 + bx + c

Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.

Dersom a er større enn null vender parabelen sin hule side oppover (den "smiler").

Dersom a er mindre enn null vender parabelen sin hule side nedover (den er "sur").

En parabel er symmetrisk om en linje som går gjennom toppunktet eller bunnpunktet.

Symmetrilinjen er gitt ved:

Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.

LITT MER OM PARABELEN

Geometrisk er en parabel mengden av alle punkter som ligger like langt fra en gitt linje og et gitt punkt. I matematisk litteratur fremstilles ofte parabelen med toppunktet enten til høyre eller til venstre. Om man tegner en vertikal styrelinje og et vilkårlig punkt F et sted i planet, men ikke på styrelinjen, kan det se slik ut:

Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, p/2. Parabelen kan da uttrykkes ved:

(1) y2 = 2px

(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)

Et hvert punkt på parabelen vil ha lik avstand til styrelinjen og til punktet F. Det betyr at:

d1 = d1'

d2 = d2'

d3 = d3'

og så videre.

Eksentrisiteten til et kjeglesnitt er gitt som det konstante forholdet:

Avstand til brennpunkt delt på avstand til styrelinje.

Alle parabler har eksentrisitet 1.

Fra figuren ser vi at:

d1'/d1 = d2'/d2 = d3'/d3 = 1

EKSEMPEL

La oss ta utgangspunkt i funksjonen

f(x) = -0,2x2

Vi bytter f (x) med Y og får

Y = -0,2x2

som gir:

x2 = -5Y

Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:

x2 = 2(-5/2)Y

p er altså -5/4 hvilket betyr at koordinatene til F er (0,-5/4) som betyr at parabelen har sin åpning nedover.

Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet y = 5/4.

Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:

y2 = -5Y

y2 = 2(-5/2)x

Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:

Så langt har parablene hatt toppunktet i origo. En mer generell sammenheng finner vi om parabelen har toppunktet i et vilkårlig punkt, P(h,k)

Da gjelder følgende sammenheng:

(2) (y - k)2 = 2p(x - h)

Eksempel Vi undersøker grafen til ligningen: 4y2 - 8x - 12y + 1 = 0

Vi ser at p =1, h = -1 og k =3/2. Det gir F(-1/2,3/2), Toppunkt i P(-1,3/2), symmetrilinje for y = 3/2 og styringslinje for x = -2.

Parabelen har spesielle refleksjonsegenskaper. alle stråler som kommer inn parallelt med symmetrilinjen og treffer parabelen reflekteres gjennom brennpunktet. Dette gir grunnlag for parabolantenner, solovner, solkraftverk, speillinser og mye mer.

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2019 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS