plan i rommet

Plan er et grunnlegende begrep i romgeometrien. Et plan er en flate som ikke krummer seg og er uendelig i utstrekkning i alle rommets rettninger. Planet inneholder hele den rette linje som går gjennom to vilkårlige punkter i planet. Man snakker også om halvplan. Det er plan som ligger på den ene eller andre siden av en rett linje.

Ligningen til et plan kan skrives på flere måter.

Et plan er definert dersom vi kjenner et punkt i planet, og planets normalvektor.

En normalvektor er en vektor som står vinkelrett på planet. Vi observerer at vinkelen mellom planene A og B er lik den mellom normalvektorene n_B og n_A.

Vi har punktet p₀ = (x₀, y₀, z₀) og normalvektor n = [a, b, c]

Et plan gjennom p₀ med n som retningsvektor er gitt ved:

a(x - x₀) + b( y - y₀) + c( z - z₀) = 0

Dersom man multipliserer ut parentesene og trekke sammen alle konstanter får man:

ax + by + cz + d = 0

der d er summen av konstantleddene.

Eks: Finn ligningen til planet som går gjennom punktet p =(1, 3, 0) og har normalvektor n = [3, -1, 1].

Løsning: Sett inn i ligningen over:

3(x-1) - 1(y-3) + 1(z-0) =0

3x -3 - y + 3 + z =0

3x - y + z = 0

Som er ligningen for dette bestemte planet.

Et plan bestemmes av en av følgende betingelser:

(1) Tre punkter som ikke ligger på samme linje, men som alle tre skal ligge i planet.

(2) En linje og et punkt som ikke ligger på linjen, men som begge skal ligge i planet.

(3) To rette linjer som skjærer hverandre og som skal ligge i planet.

(4) To paralelle linjer (ikke sammenfallende) som skal ligge i planet.

Dersom et plan er gitt ved tre punkter som i (1) kan ligningen for planet finnes på flere måter, blant annet ved å bruke vektorprodukt.

Et plan er gitt ved punktene p(0,0,0), q(2,3,4) og r(1,1,1). Finn ligningen for planet:

Finn to vektorer i planet som ikke er parallelle: pq= [2,3,4] og pr = [1,1,1]

Ta vektorproduktet: pq x pr = [(3-4),(4-2),(2-3)] = [-1,2,-1]

[-1,2,-1] er en normalvektor til planet. Det er også vektoren [1,-2,1] og vi bruker sistnevnte for å få et penere uttrykk.

Innsatt i ligningen over gir:

1(x-0) - 2(y-0) + 1(z -0) =0

x- 2y + z = 0

Her brukte vi punktet p(0,0,0) fordi det gir den enkleste regningen.

Generelt finner man to ikke parallelle vektorer i planet, tar vektorproduktet og setter inn i ligningen vist innledningsvis.

PLAN PARALLELLE MED KOORDINATAKSENE

Om man tenker seg planet utspent av x-aksen og y-aksen vil det ha normalvektor [0,0,1]. Ligningen for planet blir z = 0.

Det er lite eller ingenting ved ligningen z = 0 som forteller oss at vi arbeider i det tredimensjonale rom, det må vi vite på forhånd.

LIGGER PUNKTET I PLANET?

For å bestemme om et punkt P(x₁,y₁,z₁)ligger i planet A setter man koordinatene til P inn i ligningen for A. Dersom koordinatene passer i ligningen ligger punktet i planet.

Planet som ligger parallelt med z-aksen og skjærer x-aksen i 2 og y-aksen i 1 har retningsvektor [1,2,0] og ligning:

x + 2y - 2 = 0

Fra figuren ser man at punktet P (2,0,0) ligger i planet. Ved å sette inn i ligningen for planet får vi:

x - 2y - 2 = 0

2 - 2*0 - 2 = 0

0 = 0

Altså ligger P i planet.

Origo, O (0,0,0,) ligger ikke i planet. Det sees fra figuren over. Dersom vi prøver å sette inn i ligningen for planet får vi:

-2 = 0

og det gir ikke mening. Konklusjonen er at O ikke ligger i planet.

I HVILKET PUNKT KRYSSER LINJEN PLANET?

For å finne skjæringspunktet mellom en linje og et plan, setter man de parameteriserte utrykkene for linjen inn i de respektive variable i ligningen for planet.

Dersom man har et plan A gitt ved A: 2x + y - 2z +9 = 0

og en linje m gitt ved:

X = 2 + 3t

Y = -1 + 2t

z = 3 - 2t

finner man skjæringspunktet P mellomA og m ved å sette verdiene for X,Y og Z fra linjen inn i ligningen for planet A.

2x + y - 2z +9 = 0

2(2+3t) + (-1 + 2t) - 2(3 - 2t) = 0

12t + 6 =0

t = -0,5

Innsatt i parameterfremstillingen for linjen m gir det P koordinatene: P(1/2, -2, 4)

AVSTANDEN MELLOM PUNKT OG PLAN

Dersom plan A er gitt ved A: ax + by + cz + d = 0 er avstanden s fra planet A til punktet P (x₁,y₁,z₁) gitt ved:

Dersom du får negativt fortegn for s fjernes dette slik at avstanden oppgies som en positiv størrelse.

Eks:

Planet som er parallellt med yz planet og som skjærer x aksen i 10 er gitt ved:

x - 10 = 0

Avstanden til punktet P(2,2,3) blir

.

men, vi fjerner minustegnet og oppgir avstanden som 8 enheter.

HVA ER UTTRYKKET FOR LINJEN DER TO PLAN MØTES?

Dersom to plan ikke er parallelle vil de før eller senere skjære hverandre og danne en rett linje. For å finne uttrykket for linjen gjøres følgende: Ta vektorproduktet av planenes normalvektorer, det gir linjens retningsvektor. Sett så inn en vilkårlig x verdi (samme) i begge plans ligninger. Det gir to ligninger med to ukjente. Løs for y og z og man har et punkt på linjen.

Eks:

Vi har planet A: 2x + 3y - z + 3 = 0 og plan B: 4x + 5y + z - 1 = 0

med tilhørende normalvektorer: n_A = [2,3,-1] og n_B = [4,5,-1]

Man finner retningsvektor til skjæringslinjen ved å ta vektorproduktet til normalvektorene:

n_A x n_B = [(3+5),(-4-2),(10-12)] = [8,-6,-2] = 2[4,-3,-1]

[4,-3,-1] er en retningsvektor for skjæringslinjen.

I ligningene for plan A og B setter vi x=1 og får:

2 -3y - z + 3 = 0 og 4 + 5y + z - 1 = 0

som gir y = -1 og z = 2 det gir punktet P(1,-1,2)

Skjæringslinjen er da bestemt til: [x,y,z] = [1,-1,2] +t[4,-3,-1] som er det samme som parameterframstillingen:

x = 1 + 4t

y = -1 - 3t

z = 2 - t