Sannsynlighetstre (valgtre)

Vi har følgende situasjon: I en klasse er det 32 elever, 20 jenter og 12 gutter. 16 av jentene og 5 av guttene liker matematikk. Vi kan tegne følgende valgtre som illustrerer situasjonen:

Alle enkeltelevene har like stor mulighet til å bli trukket ut.

Hendelse jente trekkes kalles A

Hendelse gutt trekkes kalles A*

Sannsynligheten for å trekke jente blir P(trekker jente) = P(A) = 20/32 = 0,625.

Sannsynligheten for å trekke gutt blir P(trekke gutt) = P(A*) =1 - P(A) = 0,375.

Hendelsen "liker matematikk" kalles B.

Hendelsen "liker ikke matematikk" blir da B*.

Fra valgtreet ser man at sannsynligheten for å trekke en elev som liker matematikk er 21/32. [(16 + 5)/32]

P(liker matematikk) = P(B) = 21/32 = 0,656 og P(liker ikke matematikk) = P(B*) = 0,344. [P(B*) = 1 - P(B)]

Vi observerer at sannsynligheten for å trekke en elev som liker matematikk varierer avhengig av om vi trekker blant hele klassen, bare blant jentene eller bare blant guttene.

Dersom vi vet at vi har trukket en jente er sannsynligheten for at eleven liker matematikk 16/20 = 0,8.

Vi skriver P(liker matematikk gitt jente) = P(B|A) = 0,8. Vi kaller P(B|A) for betinget sannsynlighet og leser "sannsynligheten for b gitt a, som er sannsynligheten for B når vi vet at A allerede har inntruffet.

Dersom vi trekker blant hele klassen er sannsynligheten for at vi trekker en jente som liker matematikk gitt ved produktsetningen:

Dette resultatet kan leses direkte fra valgtreet ved å følge greina "jente" og videre "liker matematikk". I den sirkelen står tallet 16. Det er 32 elever i klassen og 16/32 er 0,5.

Fra valgtreet ser vi:

P(liker ikke matematikk gitt jente) = P(B*|A) = 4/20 = 0,2

P(liker matematikk gitt gutt) = P(B|A*) = 5/12 = 0,417

P(liker ikke matematikk gitt gutt) = P(B*|A*) = 7/12 = 0,583

Nå har vi sett på de betingede sannsynlighetene ut fra at vi trakk kjønn først.

La oss sette opp tilsvarende valgtre ut fra forholdet til matematikk først.

Vi ser at sannsynligheten for å trekke en jente som liker matematikk blir den samme om treet settes opp på denne måten.

De betingede sannsynlighetene blir noe annerledes. I det første treet henspeilte betingede sannsynlighetene på kjønn, "gitt jente" eller "gitt gutt" siden dette var første greindeling. I det andre treet vises betingelsen "gitt liker matte" eller "gitt liker ikke matte".

Eksempelvis får vi: P( gutt, gitt liker matte) = 5/21 = 0,238

Det er vært å merke seg at denne sannsynligheten er forskjellig fra P(liker matte gitt gutt) = 0,417.