Vis RSS feed
HJEM    Søk    Logg Inn               
Per Hovedsiden :: Søk i Per :: Alfabetisk Liste :: Topp 20 :: Per Hjelp 
Logo: Databasen Per

Emnet ble sist oppdatert 2009-01-12 22:56:40

Relaterte oppslag:

derivasjonsregler
derivert
derivasjon - anvendelse

Kommentarer?

cosinus@matematikk.net

Per Oppslag

Bevis - derivasjon - produktregel

Vi har:
[tex] f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} [/tex] dersom grensen eksisterer.

Videre har man at:


[tex] f(x)=g(x) \cdot h(x)[/tex]
og
[tex]
g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}[/tex] og [tex] h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} [/tex]

Som gir:

[tex] f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} [/tex]


Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man gjøre ved å legge til og trekke fra [tex]g(x)h(x+ \Delta x )[/tex] i brøkens teller.
Man får da:

[tex] f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x} [/tex]


[tex] = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x}


= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)


=g'(x)h(x)+h'(x)g(x)

[/tex]

Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer.

Sidene utvikles og drives av enheten:
© 2000- 2024 Sivilingeniør Kenneth Marthinsen, org. no: 976 773 934.
Telefon 932 99 111 Postadr. Odvar Solbergs vei 112, 0973 OSLO
MAIL OSS