Vi har:
[tex]
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
[/tex] dersom grensen eksisterer.
Videre har man at:
[tex]
f(x)=g(x) \cdot h(x)[/tex] og [tex]
g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}[/tex]
og [tex]
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x}
[/tex]
Som gir:
[tex]
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x}
[/tex]
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man
gjøre ved å legge til og trekke fra [tex]g(x)h(x+ \Delta x )[/tex] i brøkens teller.
Man får da:
[tex]
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x}
[/tex]
[tex]
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)