determinant

En rektangulær tabell med elementer (tall) kalles en matrise. En kvadratisk 2X2 matrise ved navn A kan skrives slik:

[tex] A= \[ a \ b \\ c \ d \][/tex]
Definisjon: La A være en kvadratisk matrise (en matrise med like mange kolonner som rader). Determinant funksjonen noteres med det, og det(A) defineres som summen av alle elementærproduktene fra A. Tallet det(A) kalles determinanten til A. En toradet, 2x2, determinant regnes ut slik:

det(A) =[tex]det(A) = \| a \ b \\ c \ d \| = ac - bd[/tex]

Eks:
det(A)=[tex]det(A) =\| 2 \ 5 \\ 1 \ 9 \| = 18 - 5= 13[/tex]

Absoluttverdien av 2x2 determinanten representerer arealet (et parallellogram) utspent av vektorene ab og cd.

En 3x3 determinant brytes ned i underdeterminanter slik:
[tex]\| e_{11} \ e_{12} \ e_{13} \\ e_{21}\ e_{22}\ e_{23} \\ e_{31} \ e_{32} \ e_{33} \| = e_{11} \| e_{22}\ e_{23} \\ e_{32} \ e_{33} \| -e_{12} \| e_{21}\ e_{23} \\ e_{31} \ e_{33} \| + e_{13} \| e_{21}\ e_{22} \\ e_{31} \ e_{32} \|
= e_{11}(e_{22}e_{33}-e_{32}e_{23})- e_{12}(e_{21}e_{33}-e_{31}e_{23})+ e_{13}(e_{21}e_{32}-e_{31}e_{22}) [/tex]

Eks:
[tex]\| 9 \ 8 \ 7 \\ 1 \ 2 \ 3 \\ 6 \ 5 \ 4 \| = 9 \| 2 \ 3 \\ 5 \ 4 \| - 8 \| 1\ 3 \\ 6 \ 4 \| + 7 \| 1\ 2 \\ 6 \ 5 \|
= 9(8-15) - 8(4-18) + 7(5-12)= [/tex]

Man har to vektorer i rommet, [tex] \vec{u} =[u_x, u_y, u_z] [/tex]og [tex]\vec{v} =[v_x, v_y, v_z][/tex]

Det ovenstående kan brukes til å regne ut vektorproduktet (kryssprodukt).:
Eks:
Vi har vektorene: [tex] \vec{u} =[1, 2, 3] [/tex]og [tex]\vec{v} =[6, 5, 4][/tex]
Vektoproduktet blir da: [tex] \vec{u}\times \vec{v} =[1, 2, 3] \times [6, 5, 4][/tex]