Per Oppslagkomplekse tall Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. i2 er størrelsen som tilfredstiller i2= -1. Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden. a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z). Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C. For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:
REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL Potenser av in kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er i3 = i2 · i = -1 · i = - i Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere Z1 = 1 + 2i og Z2 = 2 + 2i blir resultatet Z3 = 3 + 4i Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som Z + W = (a + c) + i(b + d). Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik; Lengden av linjestykket OZn kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved |Zn| = sqrt(a2 + b2). (sqrt = engelsk forkortelse for kvadratrot). |Zn| kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet Zn Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi Z - W = (a - c) + i(b - d) Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden OZn og vinkelen mellom X aksen og linjestykket OZn.
Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi : Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π > punktet kalles det konjugerte komplekse tallet til Z. en viktig egenskap er:
Multiplikasjon utføres på vanlig måte: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Divisjon. Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:
|