Per Oppslageksponentiell vekst - halvering Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen : Y = xt t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv. Dersom x = 1 har vi en konstant stabil tilstand. Dersom x > 1 har vi en tilstand med vekst. Dersom x < 1 har vi en tilstand der noe minker. Dersom x = 1,1 og t symboliserer tidsenheter betyr det at vi har en vekst på 10% per tidsenhet. Grafen ser slik ut:
Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig. Dersom vi har pengesummen Y0 som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.
Y = Y0xt Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. Y0 representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet. Vi har sett hvordan formelen Y = Y0xt kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon. C-14 metoden Tiden det tar for en radioaktiv isotop av karbon å redusere sin radioaktivitet til det halve kan benyttes til å datere enkelte organiske materialer. Dersom materialene vi ønsker å undersøke er riktig gamle må vi benytte andre metoder, men halveringstiden til C-14 holder lenge. Fysikken bak dette er vel beskrevet andre steder på nettet og blir ikke diskutert her. C-14 har en halveringstid på 5730 år. Et organisk stoff består alltid av en gitt mengde C-14 atomer. Når organismen dør avtar mengden C-14 atomer. Når det har gått 5730 år består det organiske stoffet av halvparten så mange C-14 atomer som når stoffet var en del av noe levende. Vi setter opp N(t) = N0(1/2)t N0 er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t. Vi er interessert i forholdet N(t)/N0 som gir (1/2)t = N(t)/N0 Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi: (1/2)t = 0,6 t log0,5 = log0,6 t = log0,6/log0,5 = 0,737 Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt. |